jusqu’à 
On aura pareillement
![{\displaystyle 2\mathbf {S} \left[x\sin .(n_{2}x)dx\operatorname {F} x\right]=a_{2}\left[\mathrm {X} -{\frac {1}{2n_{2}}}\sin .2n_{2}\mathrm {X} \right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/faa35f2b3dec68d6f503781b9b54517e6aa0c68a)
et l’on déterminera de même tous les coëfficients suivants. Or il est aisé de voir que l’intégrale définie ![{\displaystyle 2\mathbf {S} \left[x\sin .(nx)\operatorname {F} xdx\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c0552663d7630af28cffcf7a3ab691562bee209)
a toujours une valeur déterminée, quelle que puisse être la fonction arbitraire 
car si cette fonction 
est représentée par l’ordonnée variable d’une ligne qu’on aurait tracée d’une manière quelconque, la fonction 
correspondra aussi à l’ordonnée d’une seconde ligne, que l’on construirait facilement au moyen de la première L’aire déterminée par cette dernière ligne, entre les abcisses 
est la valeur de la moitié du coëfficient. La fonction arbitraire entre dans chaque coëfficient sous le signe de l’intégration, et donne à la valeur de 
toute la généralité que la question comporte. On parvient ainsi à l’équation suivante :
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {xz}{2}}={\frac {\sin .(n_{1}x)\mathbf {\mathrm {S} } \left[x\sin .(n_{1}x)\operatorname {\mathrm {F} } xdx\right]}{\mathrm {X} -{\frac {1}{2n_{1}}}\sin .2n_{1}\mathrm {X} }}e^{-\mathrm {K} n_{1}^{2}t}&+{\frac {\sin .(n_{2}x)\mathbf {\mathrm {S} } \left[x\sin .(n_{2}x)\operatorname {\mathrm {F} } xdx\right]}{\mathrm {X} -{\frac {1}{2n_{2}}}\sin .2n_{2}\mathrm {X} }}e^{-\mathrm {K} n_{2}^{2}t}\\&+{\frac {\sin .(n_{3}x)\mathbf {\mathrm {S} } \left[x\sin .(n_{3}x)\operatorname {\mathrm {F} } xdx\right]}{\mathrm {X} -{\frac {1}{2n_{3}}}\sin .2n_{3}\mathrm {X} }}e^{-\mathrm {K} n_{3}^{2}t}+{\text{etc}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6b02032e27427e7d739934e94dbce6003f8a66a)
Telle est la forme que l’on doit donner à l’intégrale générale de l’équation ![{\displaystyle {\frac {dz}{dt}}=\mathrm {K} \left[{\frac {d^{2}z}{dx^{2}}}+{\frac {2}{x}}.{\frac {dz}{dx}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a156cef6c5a85aae8eaceb09d1c6c4174c15e16)
pour qu’elle représente la solution cherchée. En effet, toutes les conditions de la question seront remplies : 1o l’équation aux différences partielles sera satisfaite ; 2o la quantité de chaleur qui s’écoule à la surface conviendra à la fois à l’action mutuelle des der-
