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Pour déterminer le coëfficient $a_{1},$ on multipliera les deux membres de l’équation par $x\sin .(n_{1}x)dx,$ et l’on intégrera depuis $x=0,$ jusqu’à $x=\mathrm {X} .$ L’intégrale

$\int \sin .(mx)\sin .(nx)dx,$

prise entre ces limites, est

${\frac {1}{m^{2}-n^{2}}}\left[-m\sin .(n\mathrm {X} )\cos .(m\mathrm {X} )+n\sin .(m\mathrm {X} )\cos .(n\mathrm {X} )\right].$

Si $m$ et $n$ sont des nombres choisis parmi les racines $n_{1},n_{2},n_{3},n_{4},$ etc., qui satisfont à l’équation

${\frac {n\mathrm {X} }{\operatorname {tang} .(n\mathrm {X} )}}=1-h\mathrm {X} ,$

on aura,

${\frac {m\mathrm {X} }{\operatorname {tang} .(m\mathrm {X} )}}={\frac {nx}{\operatorname {tang} .n\mathrm {X} }},$

ou

$m\cos .m\mathrm {X} \sin .n\mathrm {X} -n\cos .n\mathrm {X} \sin .m\mathrm {X} =0$

On voit par là que la valeur totale de l’intégrale est nulle. Mais il y a un seul cas où cette intégrale ne s’évanouit pas, c’est lorsque $m=n\,;$ elle devient alors ${\frac {0}{0}},$ et par l’application des règles connues elle se réduit à

${\frac {1}{2}}\mathrm {X} -{\frac {1}{4n}}\sin .2n\mathrm {X} .$

Il résulte de là que, pour avoir la valeur du coëfficient $a_{1}$ dans l’équation $(a),$ il faut écrire

$2\mathbf {S} \left[x\sin .(n_{1}x)dx\operatorname {F} x\right]=a_{1}\left[\mathrm {X} -{\frac {1}{2n_{1}}}\sin .2n_{1}\mathrm {X} \right].$

Le signe $\mathbf {S}$ indiquant que l’on prend l’intégrale depuis $x=0,$