Lorsqu’on aura effectué quelques-unes des opérations indiquées, les résultats successifs différeront moins, et l’on sera parvenu à une valeur approchée de
On pourrait se proposer d’appliquer les deux équations et dans un ordre different en leur donnant cette forme, et On prendrait pour une valeur arbitraire, et en la substituant dans la première équation, on trouverait la valeur de qui, étant substituée dans la seconde équation, donnerait une seconde valeur de On emploierait ensuite cette nouvelle valeur de de la même manière qu’on a employé la première. Mais il est facile de reconnaitre par les constructions, qu’en suivant le cours de ces opérations, on s’éloigne de plus en plus du point d’intersection, au lieu de s’en approcher, comme dans le cas précédent. Les valeurs successives de que l’on obtiendrait, diminueraient continuellement jusqu’à zéro, ou augmenteraient sans limite. On passerait successivement de en de en de en de en ainsi de suite à l’infini.
La règle que l’on vient d’exposer pouvant s’appliquer au calcul de chacune des racines de l’équation qui ont d’ailleurs des limites données, on peut regarder toutes ces racines comme des nombres connus. Au reste il était seulement nécessaire de se convaincre que l’équation a une infinité de racines, qui sont toutes réelles. On a rapporte ici ce procédé d’approximation parce qu’il est fondé sur une construction remarquable, qu’on peut employer utilement dans plusieurs cas ; mais l’application qu’on en ferait à l’équation dont il s’agit serait beaucoup trop lente : il faudrait donc recourir dans la pratique à une autre méthode d’approximation.
