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donné, en sorte que l’équation de condition ${\frac {n\mathrm {X} }{\operatorname {tang} .n\mathrm {X} }}=1-h\mathrm {X}$ a une infinité de racines réelles.

Les constructions sont très-propres à faire connaître la nature de cette équation. Soit $u=\operatorname {tang} .\varepsilon$ l’équation d’une ligne (fig. 5) dont l’arc $\varepsilon$ est l’abscisse et $u$ l’ordonnée, et soit $u={\frac {\varepsilon }{\lambda }}$ l’équation d’une droite dont $\varepsilon$ et $u$ désignent aussi les coordonnées ; si on élimine $u$ avec ces deux équations, on a la proposée ${\frac {\varepsilon }{\lambda }}=\operatorname {tang} .\varepsilon .$ L’inconnue $\varepsilon$ est donc l’abscisse du point d’intersection de la courbe et de la droite. Cette ligne courbe est composée d’une infinité d’ares ; toutes les ordonnées correspondantes aux abscisses, ${\frac {1}{2}}\pi ,{\frac {3}{2}}\pi ,{\frac {5}{2}}\pi ,{\frac {7}{2}}\pi ,$ etc., sont infinies ; et toutes celles qui répondent aux points $0\pi ,2\pi ,3\pi ,4\pi ,$ etc., sont nulles. Pour tracer la droite dont l’équation est

$u={\frac {\varepsilon }{\lambda }}={\frac {\varepsilon }{1-h\mathrm {X} }}.$

on forme le quarré $0101,$ et portant la quantité $h\mathrm {X}$ de $0$ en $h\mathrm {X} .$ on joint le point $h\mathrm {X}$ avec l’origine. La courbe dont l’équation est $u=\operatorname {tang} .\varepsilon$ a pour tangente à l’origine une ligne qui divise l’angle droit en deux parties égales, parce que la dernière raison de l’arc et de sa tangente est $1.$ On conclut de la que si $\lambda$ ou $1-h\mathrm {X}$ est une quantité moindre que l’unité, la droite passe à l’origine au-dessus de la courbe, et qu’il y a par conséquent un point d’intersection de cette droite avec la première branche. Il est également évident que la même droite coupe toutes les branches ultérieures ; donc l’équation ${\frac {\varepsilon }{\operatorname {tang} .\varepsilon }}=\lambda$ a un nombre infini de racines