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Soit $u=\mathrm {A} \cos .nx+\mathrm {B} \sin .nx\,;$ on aura cette condition,

$m=-\mathrm {K} n^{2}\,;$

ainsi la valeur particulière de $y$ est

$e^{-\mathrm {K} n^{2}t}\left[\mathrm {A} \cos .nx+\mathrm {B} \sin .nx\right].$

On peut donc prendre pour valeur particulière de $z,$

$z={\frac {e^{-\mathrm {K} n^{2}t}}{x}}\left[\mathrm {A} \cos .nx+\mathrm {B} \sin .nx\right],$

$n$ étant un nombre positif quelconque, et $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ des constantes. On remarquera d’abord que la constante $\mathrm {A}$ doit être nulle ; car la valeur de $z$ qui exprime la température du centre lorsqu’on fait $x=0,$ ne peut pas être infinie : donc le terme $\mathrm {A} \cos .x$ doit être omis.

De plus le nombre $n$ ne peut être pris arbitrairement. En effet, si dans l’équation déterminée ${\frac {dz}{dx}}+hz=0,$ on substitue la valeur de $z,$ on trouvera

$nx\cos .nx+(hx-1)\sin .nx=0\,;$

ou $\qquad \qquad \qquad {\frac {n\mathrm {X} }{\operatorname {tang} .n\mathrm {X} }}=1-h\mathrm {X} .$

car l’équation doit avoir lieu à la surface. Soit $\lambda$ le nombre $1-h\mathrm {X} ,$ et $n\mathrm {X} =\varepsilon ,$ on aura ${\frac {\varepsilon }{\operatorname {tang} .\varepsilon }}=\lambda .$ Il faut donc trouver un arc $\varepsilon$ qui, divisé par sa tangente, donne un quotient connu $\lambda ,$ et l’on aura ensuite $n={\frac {\varepsilon }{\lambda }}.$ Il est visible qu’il y a une infinité de tels arcs qui ont avec leur tangente un rapport