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des eaux courantes. On emploiera dans la suite de ce mémoire, sous des formes très-différentes, l’intégrale de cette même équation qui exprime le mouvement varié de la chaleur dans une armille.

VII.

Du mouvement de la chaleur dans une sphère solide.

Nous considérons maintenant le mouvement de la chaleur dans un sphère solide, d’un rayon donné $\mathrm {X} .$ Il s’agit (art. 11) d’intégrer l’équation ${\frac {dz}{dt}}=\mathrm {K} \left[{\frac {d^{2}z}{dx^{2}}}+{\frac {2}{x}}{\frac {dz}{dx}}\right],$ en sorte que l’intégrale satisfasse, lorsque $x=\mathrm {X} ,$ à la condition ${\frac {dz}{dx}}+hz=0.$ $\mathrm {K}$ désigne le rapport $\mathrm {\frac {K}{C.D}} ,$ et $h$ désigne le rapport ${\frac {h}{\mathrm {K} }}.$

Si l’on fait $zx=y,$ $y$ étant une nouvelle indéterminée, on aura, après les substitutions, ${\frac {dy}{dt}}=\mathrm {K} {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}.$ Ainsi il faut intégrer cette dernière équation, et l’on prendra ensuite $z={\frac {y}{x}}.$

Soit $y=e^{mt}u,$ $u$ étant une fonction de $x,$ on aura

$mu=\mathrm {K} {\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}.$

On voit d’abord que la valeur de $t$ devenant infinie, celle de $z$ doit être nulle dans tous les points, puisque le corps est entièrement refroidi : on ne peut donc prendre pour $m$ qu’une quantité négative. Or $\mathrm {K}$ est positif par hypothèse : on en conclut que la valeur de $u$ dépend des arcs de cercle, ce qui résulte de la nature connue de l’équation $mu=\mathrm {K} {\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}.$