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a pour échelle de relation $2\cos .\alpha -1\,:$ de plus, $n\alpha$ étant un multiple de la circonférence, $\sin .(n-1).\alpha$ équivaut à $\sin .(-1\alpha ),$ et $\sin .(n-2).\alpha$ équivaut à $\sin .(-2\alpha )\,:$ ainsi le second nombre se réduit entièrement à zéro. On en tire l’équation

$2\mathbf {S} -2\mathbf {S} \cos .\alpha =0,\quad {\text{ou}}\quad \mathbf {S} =0.$

Ainsi la somme des termes dus au développement de

${\frac {1}{2}}\sin .j(\mu +\nu )q$

est nulle. On représentera pareillement l’arc $(\mu -\nu )q$ par $\alpha ,$ et l’on trouvera encore que la somme $\mathbf {S}$ des termes dus au développement de ${\frac {1}{2}}\sin .j(\mu -\nu )q$ satisfait à l’équation

$\mathbf {S} (1-\cos .\alpha )=0.$

Quant au cas où l’on aurait $\cos .\alpha =1,$ ou $\alpha =0,$ et par conséquent $\mu =\nu ,$ la somme

$\mathbf {S} \left({\frac {1}{2}}\sin .j(\mu +\nu )q+{\frac {1}{2}}\sin .j(\mu +\nu )q\right)$

ne cessera point d’être nulle ; d’où l’on conclut que la somme des produits terme à terme des deux séries

${\begin{array}{lllll}\sin .0u,&\sin .1u,&\sin .2u,&\sin .3u.\ldots &\sin .(n-1).u\\\cos .0v,&\cos .1v,&\cos .2v,&\cos .3v.\ldots &\cos .(n-1).v.\end{array}}$

est nulle dans tous les cas possibles.

La comparaison de ces séries fournit donc les conséquences suivantes. Si l’on partage la circonférence $2\pi$ en un nombre $n$ de parties égales, que l’on prenne un arc u com-