deux premières séries. Il n’en est pas de même de la somme
prise dans le cas où
et
sont nuls. Cette somme des produits terme à terme des deux secondes séries est évidemment égale à
ce qui résulte de l’expression
![{\displaystyle \mathbf {S} \left[{\frac {1}{2}}\cos .j(\mu -\nu )q+{\frac {1}{2}}\cos .j(\mu +\nu )q\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6770ad6ce414259580045608719ffa92a3025f96)
Quant à la somme des produits terme à terme des deux séries
![{\displaystyle {\begin{array}{lllll}\sin .0u,&\sin .1u,&\sin .2u,&\sin .3u.\ldots &\sin .(n-1).u\\\cos .0v,&\cos .1v,&\cos .2v,&\cos .3v.\ldots &\cos .(n-1).v.\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6b0c555bd40960b116edb54cad6557ef89ae3f0)
leur somme
est nulle dans tous les cas. On a en effet
![{\displaystyle \mathbf {S} (\sin .i\mu q.\cos .i\nu q)=\mathbf {S} \left[{\frac {1}{2}}\sin .i(\mu +\nu )q+{\frac {1}{2}}\sin .i(\mu -\nu )q\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8aa2292e4a512e17b82bff7dba83c0211e615d0)
Si l’on représente l’arc
par
on aura la suite récurrente,
![{\displaystyle \sin .0\alpha ,\,\sin .1\alpha ,\,\sin .2\alpha ,\,\sin .3\alpha .\ldots \sin .(n-3).\alpha ,\,\sin .(n-2).\alpha ,\,\sin .(n-1).\alpha ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66858f9dac448b17381a95a37c5f3c083d0b4491)
dont la somme est nulle : car en représentant cette somme par
on aura
![{\displaystyle \mathbf {S} =\sin .0\alpha \equiv \sin .1\alpha \equiv ,\sin .2\alpha \equiv \ldots \sin .(n-1).\alpha }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd2a66377c4079ff66e495e1d080fa067f5a72ee)
![{\displaystyle -2\mathbf {S} \cos .\alpha -2\sin .\alpha \cos .0\alpha -2\cos .\alpha \sin .1\alpha \ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/361611a05866fa007421f7053107e5da98aec4bb)
![{\displaystyle -2\cos .\alpha \sin .(n-2)\alpha -2\cos .\alpha \sin .(n-1)\alpha }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cdb398161c70fb0a591d8acb44a277dfa8f41b36)
![{\displaystyle \equiv \mathbf {S} \equiv \sin .0\alpha \equiv \sin .1\alpha \equiv \ldots \equiv \sin .(n-2)\alpha \equiv \sin .(n-1)\alpha .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab4ceaaa882503f9db8d47701999c659be321c05)
Les trois termes qui se correspondraient verticalement se détruisent d’eux-mêmes dans une partie du second nombre, parce que la série récurrente ![{\displaystyle \sin .0\alpha ,\,\sin .1\alpha ,\,\sin .2\alpha ,{\text{etc}}..}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d668ebf26b7b64489a1245985c724eea781c3e5b)