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fournit des termes égaux, dont chacun a pour valeur ${\frac {1}{2}}\,;$ donc la somme des produits terme à terme des deux premières séries est ${\frac {1}{2}}n.$ On trouvera de la même manière la valeur de la somme des produits terme à terme des deux secondes séries, ou $\mathbf {S} (\cos .j\mu q.\cos .j\nu q).$ En effet, en substituant à $\cos .j\mu q.\cos .j\nu q,$ la quantité

${\frac {1}{2}}\cos .j(\mu -\nu )q+{\frac {1}{2}}\cos .j(\mu +\nu )q,$

on en conclura, comme dans le cas précédent, que

$\mathbf {S} \left[{\frac {1}{2}}\cos .j(\mu +\nu )q\right]$

est nulle, que

$\mathbf {S} \left[{\frac {1}{2}}\cos .j(\mu -\nu )q\right]$

est nulle, excepté le cas où $\mu =\nu .$ Il suit de là que la somme des produits terme à terme des deux secondes séries, ou

$\mathbf {S} (\cos .j\mu q.\cos .j\nu q)$

est toujours nulle lorsque les arcs $u$ et $v$ sont différents et égale à ${\frac {1}{2}}n$ lorsque $u=v.$ Il ne faut plus que distinguer les cas où les arcs $\mu q$ et $\nu q$ sont tous les deux nuls, alors on a $0$ pour la valeur de

$\mathbf {S} \left[{\frac {1}{2}}\cos .j(\mu -\nu )q-{\frac {1}{2}}\cos .j(\mu +\nu )q\right],$

ou

$\mathbf {S} (\sin ..j\mu q.\sin .j\nu q),$

qui désigne la somme des deux produits terme à terme des