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la lettre $j$ désignant un terme quelconque de la suite $0,1,2,3,\ldots i\ldots n-1.$ Or il est facile de prouver que si l’on donne à $j$ ses $n$ valeurs successives, depuis $0$ juspu’à $n-1,$ la somme

${\frac {1}{2}}\cos .0(\mu -\nu )q+{\frac {1}{2}}\cos .1(\mu -\nu )q+{\frac {1}{2}}\cos .2(\mu -\nu )q+\ldots$

$+{\frac {1}{2}}\cos .(n-1)(\mu -\nu )q$

aura une valeur nulle ; et qu’il en sera de même de la suite

${\frac {1}{2}}\cos .0(\mu +\nu )q+{\frac {1}{2}}\cos .1(\mu +\nu )q+{\frac {1}{2}}\cos .2(\mu +\nu )q+\ldots$

$+{\frac {1}{2}}\cos .(n-1)(\mu +\nu )q.$

En effet, en représentant l’arc $(\mu -\nu )q$ par $\alpha ,$ qui est par conséquent un multiple de ${\frac {2\pi }{n}},$ on aura la suite récurrente.

$\cos .0\alpha ,\ \ \cos .1\alpha ,\ \ \cos .2\alpha ,\ \ \cos .3\alpha ,\ldots \cos .(n-2)\alpha ,\ \ \cos .(n-1)\alpha ,$

dont la somme est nulle. Pour le faire voir, on représentera cette somme par $\mathrm {S} ,$ et les deux termes de l’échelle de relation étant $2\cos .\alpha$ et $-1,$ on multipliera successivement les deux membres de l’équation

${\begin{aligned}\mathbf {S} =&\cos .0\alpha +\cos .1\alpha +\cos .2\alpha +\cos .3\alpha +\ldots \\&+\cos .(n-3)\alpha +\cos .(n-2)\alpha +\cos .(n-1)\alpha \end{aligned}}$

par $-2\cos .\alpha$ et par $+1:$ puis, ajoutant les trois équations, on remarquera que les termes intermédiaires se détruisent d’eux-mêmes d’après la nature de la série récurrente, ainsi qu’on le voit dans l’équation suivante :