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$\sin .0u,\quad \sin .1u,\quad \sin .2u,\quad \sin .3u,\quad \sin .4u,\ldots \sin .(n-1)u,$

et

$\sin .0v,\quad \sin .1v,\quad \sin .2v,\quad \sin .3v,\quad \sin .4v,\ldots \sin .(n-1)v,$

la somme des produits

$\sin .0u\sin .0v+\sin .1u\sin .1v+\sin .2u\sin .1v+\ldots$

$\sin .(n-1)u\sin .(n-1)v$

sera nulle, excepté lorsque les arcs $u$ et $v$ seront les mêmes, chacun de ces arcs étant d’ailleurs supposé un multiple d’une partie de la circonférence égale à ${\frac {2\pi }{n}}\,;$

2^o Que si l’on multiplie terme à terme les deux séries

$\cos .0u,\quad \cos .1u,\quad \cos .2u,\quad \cos .3u,\quad \cos .4u,\ldots \cos .(n-1)u,$

et

$\cos .0v,\quad \cos .1v,\quad \cos .2v,\quad \cos .3v,\quad \cos .4v,\ldots \cos .(n-1)v,$

la somme des produits sera nulle, excepté le cas où $u$ est égal à $v;$

3^o Que si l’on multiplie terme à terme les deux suites,

$\sin .0u,\quad \sin .1u,\quad \sin .2u,\quad \sin .3u,\quad \sin .4u,\ldots \sin .(n-1)u,$

$\cos .0v,\quad \cos .1v,\quad \cos .2v,\quad \cos .3v,\quad \cos .4v,\ldots \cos .(n-1)v,$

la somme des produits sera toujours nulle. On désignera par $q$ l’arc ${\frac {2\pi }{n}},$ par $\mu q$ l’arc $u,$ et par $\nu q$ l’arc $v,$ $\mu$ et $\nu$ étant des nombres entiers positifs, moindres que $n.$ Le produit de deux termes correspondants des deux premières séries sera représenté par

$\sin .j\mu q\sin .j\nu q,\quad {\text{ou}}\quad {\frac {1}{2}}\cos .j(\mu -\nu )q-{\frac {1}{2}}\cos .j(\mu +\nu )q.$