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d’abord que la même indéterminée a un multiplicateur différent dans chaque équation, et que la suite de ces multiplicateurs compose une série récurrente. En effet, cette suite est celle des sinus d’ares croissants en progression arithmétique, ou celle des cosinus des mêmes arcs : elle peut être représentée par

$\sin .0u,\quad \sin .1u,\quad \sin .2u,\quad \sin .3u,\ldots \sin .(n-1)u.$

ou par

$\cos .0u,\quad \cos .1u,\quad \cos .2u,\quad \cos .3u,\ldots \cos .(n-1)u.$

L’arc $u$ est égal à $i{\frac {2\pi }{n}},$ si l’indéterminée dont il s’agit est $\mathrm {A} _{i+1},$ ou $\mathrm {B} _{i+1}.$ Cela posé, pour déterminer l’inconnue $\mathrm {A} _{i+1}$ au moyen des équations précédentes, il faut comparer à la suite des équations la série des multiplicateurs

$\sin .0u,\quad \sin .1u,\quad \sin .2u,\quad \sin .3u,\ldots \sin .(n-1)u,$

et multiplier chaque équation par le terme correspondant de la série. Si l’on prend la somme des équations ainsi multipliées, on éliminera toutes les inconnues, excepté celle qu’il s’agit de déterminer. Il en sera de même si l’on veut trouver la valeur de $\mathrm {B} _{i+1}\,;$ il faudra multiplier chaque équation le multiplicateur de $\mathrm {B} _{i+1}$ dans cette même équation, et prendre ensuite la somme de toutes les équations. Il s’agit de démontrer qu’en opérant de cette manière, on fera disparaître en effet des équations toutes les inconnues, excepté une seule : pour cela, il suffit de faire voir 1^o que si l’on multiplie terme à terme les deux suites