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${\begin{aligned}\alpha _{3}&=(\mathrm {A} _{1}\sin .2u_{1}+\mathrm {B} _{1}\cos .2u_{1})e^{-2{\frac {\mathrm {K} }{m}}t\sin .\mathrm {v} .u_{1}}\\&+(\mathrm {A} _{2}\sin .2u_{2}+\mathrm {B} _{2}\cos .2u_{2})e^{-2{\frac {\mathrm {K} }{m}}t\sin .\mathrm {v} .u_{2}}\\&+(\mathrm {A} _{3}\sin .2u_{3}+\mathrm {B} _{3}\cos .2u_{3})e^{-2{\frac {\mathrm {K} }{m}}t\sin .\mathrm {v} .u_{3}}\\&+{\text{etc}}.\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\\alpha _{n}&=\left[\mathrm {A} _{1}\sin .(n-1)u_{1}+\mathrm {B} _{1}\cos .(n-1)u_{1}\right]e^{-2{\frac {\mathrm {K} }{m}}t\sin .\mathrm {v} .u_{1}}\\&+\left[\mathrm {A} _{2}\sin .(n-1)u_{2}+\mathrm {B} _{2}\cos .(n-1)u_{2}\right]e^{-2{\frac {\mathrm {K} }{m}}t\sin .\mathrm {v} .u_{2}}\\&+\left[\mathrm {A} _{3}\sin .(n-1)u_{3}+\mathrm {B} _{3}\cos .(n-1)u_{3}\right]e^{-2{\frac {\mathrm {K} }{m}}t\sin .\mathrm {v} .u_{3}}\\&+{\text{etc}}.\end{aligned}}$

Si l’on suppose le temps nul, les valeurs $\alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3},\ldots$ doivent se confondre avec les valeurs initiales $a_{1},a_{2},a_{3},\ldots :$ on tire de là un nombre $n$ d’équations, qui doivent servir à déterminer les coëfficients $\mathrm {A_{1},B_{1},A_{2},B_{2}} ,$ $\mathrm {A_{3},B_{3}} ,\ldots .$ On reconnaitra facilement que le nombre des inconnues est toujours égal à celui des équations. En effet, le nombre des termes qui entrent dans la valeur de chacune des variables dépend du nombre des quantités différentes $\sin .\mathrm {v} .u_{1},\,\sin .\mathrm {v} .u_{2},\,\sin .\mathrm {v} .u_{3},\ldots ,$ qu’on trouve en divisant la circonférence $2\pi$ en un nombre $n$ de parties égales. Or le nombre des quantités $sin.v.0.2{\frac {\pi }{n}},\ sin.v.1.2{\frac {\pi }{n}},\ sin.v.2.2{\frac {\pi }{n}},\ldots$ est beaucoup moindre que $n,$ si l’on ne compte que celles qui sont réelle-