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ces valeurs de $\alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3},\ldots \alpha _{i},\ldots \alpha _{n}$ peuvent satisfaire aux équations différentielles. En effet, en faisant les substitutions de ces valeurs, on trouve

${\begin{aligned}b_{1}h&={\frac {\mathrm {K} }{m}}(b_{n}-2b_{1}+b_{2})\\b_{2}h&={\frac {\mathrm {K} }{m}}(b_{1}-2b_{2}+b_{3})\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\b_{i}h&={\frac {\mathrm {K} }{m}}(b_{i-1}-2b_{i}+b_{i+1})\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\b_{n-1}h&={\frac {\mathrm {K} }{m}}(b_{n-2}-2b_{n-1}+b_{n})\\b_{n}h&={\frac {\mathrm {K} }{m}}(b_{n-1}-2b_{n}+b_{n+1}).\end{aligned}}$

Si l’on prend pour $b_{1},b_{2},b_{3},\ldots b_{n}$ et $h$ des quantités qui satisfassent aux équations précédentes, on aura, au moyen de ces équations, des valeurs de $\alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3},\ldots \alpha _{i}\ldots \alpha _{n},$ qui satisferont aux équations différentielles. Soit $q={\frac {hm}{\mathrm {K} }}:$ on aura, après avoir substitué, et en réglant l’ordre des équations,

$b_{1}=b_{n}(q+2)-b_{n-1},\quad b_{2}=b_{1}(q+2)-b_{n},\quad b_{3}=b_{2}(q+2)-b_{1},$

$\ldots b_{i}=b_{i-1}(q+2)-b_{i-2},\ldots \quad b_{n}=b_{n-1}(q+2)-b_{n-2}.$

Il en résulte que l’on peut prendre pour $b_{1},b_{2},b_{3},\ldots b_{i},\ldots b_{n}$ les $n$ sinus consécutifs que l’on obtient en divisant la circonférence entière $2\pi$ en un nombre $n$ de parties