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moitié, qui aurait dans toutes ses parties la température initiale $0.$

1^o On a vu précédemment (page 225) que les températures permanentes de l’anneau sont exprimées par l’équation

$z=a\alpha ^{x}+b\alpha ^{-x},$

et la quantité $\alpha$ a pour valeur

$e^{\sqrt {\frac {kl}{\mathrm {KS} }}}.$

Si l’on suppose qu’il y ait un seul foyer, il sera nécessaire que l’on ait l’équation ${\frac {dz}{dx}}=0$ au point opposé à celui qui est occupé par le foyer. La condition $a\alpha ^{x}-b\alpha ^{-x}=0$ sera donc satisfaite en ce point. Regardons, pour plus de facilité dans le calcul, la fraction ${\frac {kl}{\mathrm {KS} }}$ comme égale à l’unité, et prenons le rayon $r$ de l’anneau pour le rayon des tables trigonométriques : on aura

$z=ae^{x}+be^{-x}\qquad {\text{et}}\qquad ae^{\pi }-be^{-\pi }=0.$

Donc l’état de l’anneau est représenté par l’équation

$z=b\left({\frac {e^{-\pi +x}+e^{\pi -x}}{e^{\pi }}}\right)\,;$

et désignant par $u$ l’abscisse $x-\pi ,$ on a

$z=\mathrm {A} \left({\frac {e^{u}+e^{-u}}{e^{\pi }+e^{-\pi }}}\right).$