Page:Mémoires de l’Académie des sciences, Tome 4.djvu/683

celle-ci, $\operatorname {\operatorname {F} } x,$ on aura pour exprimer le mouvement de la chaleur dans un anneau qui se refroidit librement à l’air, l’équation suivante, qui contient la solution complète de la question proposée.

$(\mathrm {E} )\ \ \pi rz=e^{-ht}\times$

$\left(\left.{\begin{aligned}{\frac {1}{2}}\mathrm {S} \operatorname {F} xdx&+\mathrm {S} \left(\operatorname {F} x\sin .{\frac {x}{r}}dx\right)\sin .{\frac {x}{r}}\\&+\mathrm {S} \left(\operatorname {F} x\cos .{\frac {x}{r}}dx\right)\cos .{\frac {x}{r}}\end{aligned}}\right\}\left.{\begin{aligned}e^{-{\frac {\mathrm {K} }{r^{2}}}t}&+\mathrm {S} \left(\operatorname {F} x\sin .{\frac {2x}{r}}dx\right)\\&+\mathrm {S} \left(\operatorname {F} x\cos .{\frac {2x}{r}}dx\right)\end{aligned}}\right\}{\begin{aligned}e^{-{\frac {2^{2}\mathrm {K} }{r^{2}}}t}&+{\text{etc}}.\\\\\\\end{aligned}}\right)$

Le premier terme ${\frac {\mathrm {S} \operatorname {F} xdx}{2\pi r}},$ qui sert à former la valeur de $z,$ est évidemment la température moyenne initiale, c’est-à-dire celle qu’aurait chaque point, si toute la chaleur initiale était également répartie entre tous les points.

On a supposé que l’ammeau, après avoir été échauffé d’une manière quelconque, se refroidissait successivement ; mais si, au contraire, on l’échauffait jusqu’à l’élever à des températures constantes, et qu’on voulut déterminer les variations qui conduisent à cet état final, il faudrait employer une integrale differente de celle que nous venons de donner.

33. On peut appliquer l’équation précédente $(\mathrm {E} ),$ quelle que soit la forme de la fonction donnée $\operatorname {F} x.$ Nous considererons deux cas particuliers, savoir : 1^o celui qui a lieu lorsque l’anneau, ayant été élevé par l’action d’un foyer à des températures permanentes, on supprime tout-à-coup le foyer ; 2^o le cas où la moitié de l’anneau, échauffée également dans tous ses points, serait reunie subitement à l’autre