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correspondantes à ces intégrales ont toujours des valeurs fixes et déterminées.

En substituant dans l’équation $(\varepsilon )$ les valeurs trouvées pour les coëfficients, on aura l’équation suivante, qui offre une propriété remarquable des lignes trigonométriques, et donne le développement d’une fonction arbitraire en séries convergentes de sinus et de cosinus d’arcs multiples.

$(\mathrm {P} )\ \ \pi \varphi u={\frac {1}{2}}\mathrm {S} \varphi udu+\left\{{\begin{aligned}\sin .u\mathrm {S} (\varphi u\sin .udu)&+\sin .2u\mathrm {S} (\varphi u\sin .2udu)\\&+\sin .3u\mathrm {S} (\varphi u\sin .3udu)+\ldots .\\\\\cos .u\mathrm {S} (\varphi u\cos .udu)&+\cos ..2u\mathrm {S} (\varphi u\cos .2udu)\\&+\cos .3u\mathrm {S} (\varphi u\cos .3udu)+\ldots .\end{aligned}}\right.$

ou mettant $x$ au lieu de $u,$ et laissant $u$ sous le signe $\mathrm {S} ,$

${\begin{aligned}(\mathrm {II} )\ \ \pi \varphi &=\mathrm {S} du\varphi u\left[{\frac {1}{2}}+\cos .(u-x)+\cos .2(u-x)+\cos .3(u-x)+\ldots \right]\\&={\frac {1}{2}}\mathrm {S} du\varphi u\sum \cos .i(u-x).\end{aligned}}$

Le signe $\sum$ indique que l’on doit donner au nombre entier $i$ toutes les valeurs positives ou négatives ; toutes les intégrales désignées par le signe $\mathrm {S}$ doivent être prises depuis $u=0$ jusqu’à $u=2\pi .$

32. Si maintenant on met à la place de $u,$ ${\frac {x}{r}},$ et que les intégrations désignées par $\mathrm {S}$ aient lieu depuis ${\frac {x}{r}}=0$ jusqu’à ${\frac {x}{r}}=2\pi ,$ on aura déterminé tous les coëfficients qui entrent dans l’équation $(\varepsilon ).$ En remplaçant la fonction $\varphi \left({\frac {x}{r}}\right)$ par