![{\displaystyle \left.{\begin{aligned}u=b_{0}&+a_{1}\sin .{\frac {x}{r}}\\&+b_{1}\cos .{\frac {x}{r}}\end{aligned}}\right\}\left.{\begin{aligned}e^{-{\frac {\mathrm {K} t}{r}}}&+a_{2}\sin .2{\frac {x}{r}}\\&+b_{2}\cos .2{\frac {x}{r}}\end{aligned}}\right\}\left.{\begin{aligned}e^{-{\frac {2^{2}\mathrm {K} t}{r^{2}}}}&+a_{3}\sin .3{\frac {x}{r}}\\&+b_{3}\cos .3{\frac {x}{r}}\end{aligned}}\right\}{\begin{aligned}e^{-{\frac {3^{2}\mathrm {K} t}{r^{2}}}}&\\\\&\end{aligned}}+{\text{etc}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df1d34f24b3e807709c14ac93a68cd8e9dac0daf)
En effet, 1o cette valeur de
satisfera à l’équation
![{\displaystyle {\frac {du}{dt}}=\mathrm {K} {\frac {d^{2}u}{dx^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e041ca273389ae22c288ecf3ad3f84209cc2c1c)
parce qu’elle est la somme de plusieurs valeurs particulières ; 2o elle ne changera point lorsque l’on augmentera la distance & d’un multiple quelconque de la circonférence de l’anneau ; 3o elle satisfera à l’état initial, parce qu’en faisant
on trouvera par hypothèse l’équation
Donc toutes les conditions de la question sont remplies, et il ne reste plus qu’à multiplier par
cette valeur de ![{\displaystyle u.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/edd5636410da69bac33da075162221527401793c)
À mesure que le temps
augmente, chacun des termes qui composent la valeur de
devient de plus en plus petit. Le système des températures tend donc continuellement à se confondre avec l’état régulier et constant dans lequel la différence de la température
à la constante
qui est comme on le verra, la température initiale moyenne, est représentée par
![{\displaystyle \left(a_{1}\sin .{\frac {x}{r}}+b_{1}\cos .{\frac {x}{r}}\right)e^{-{\frac {\mathrm {K} t}{r^{2}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5edee57707e573ec6c782588b46b8f6813eead3)
Ainsi les valeurs particulières que nous avons considérées précédemment, et dont nous composons la valeur générale, tirent leur origine de la question elle-mème : chacune d’elles