Page:Mémoires de l’Académie des sciences, Tome 4.djvu/679

$\left.{\begin{aligned}u=b_{0}&+a_{1}\sin .{\frac {x}{r}}\\&+b_{1}\cos .{\frac {x}{r}}\end{aligned}}\right\}\left.{\begin{aligned}e^{-{\frac {\mathrm {K} t}{r}}}&+a_{2}\sin .2{\frac {x}{r}}\\&+b_{2}\cos .2{\frac {x}{r}}\end{aligned}}\right\}\left.{\begin{aligned}e^{-{\frac {2^{2}\mathrm {K} t}{r^{2}}}}&+a_{3}\sin .3{\frac {x}{r}}\\&+b_{3}\cos .3{\frac {x}{r}}\end{aligned}}\right\}{\begin{aligned}e^{-{\frac {3^{2}\mathrm {K} t}{r^{2}}}}&\\\\&\end{aligned}}+{\text{etc}}.$

En effet, 1^o cette valeur de $u$ satisfera à l’équation

${\frac {du}{dt}}=\mathrm {K} {\frac {d^{2}u}{dx^{2}}},$

parce qu’elle est la somme de plusieurs valeurs particulières ; 2^o elle ne changera point lorsque l’on augmentera la distance & d’un multiple quelconque de la circonférence de l’anneau ; 3^o elle satisfera à l’état initial, parce qu’en faisant $t=0,$ on trouvera par hypothèse l’équation $(\varepsilon ).$ Donc toutes les conditions de la question sont remplies, et il ne reste plus qu’à multiplier par $e^{-ht}$ cette valeur de $u.$

À mesure que le temps $t$ augmente, chacun des termes qui composent la valeur de $u$ devient de plus en plus petit. Le système des températures tend donc continuellement à se confondre avec l’état régulier et constant dans lequel la différence de la température $u$ à la constante $b,$ qui est comme on le verra, la température initiale moyenne, est représentée par

$\left(a_{1}\sin .{\frac {x}{r}}+b_{1}\cos .{\frac {x}{r}}\right)e^{-{\frac {\mathrm {K} t}{r^{2}}}}.$

Ainsi les valeurs particulières que nous avons considérées précédemment, et dont nous composons la valeur générale, tirent leur origine de la question elle-mème : chacune d’elles