Page:Mémoires de l’Académie des sciences, Tome 4.djvu/677

et si l’on a égard à la déperdition de la chaleur par la surface, on trouvera

$z=ae^{-\left(h+{\frac {\mathrm {K} }{r^{2}}}\right)t}\sin .{\frac {x}{r}}.$

Dans le cas dont il s’agit, qui est le plus simple de tous ceux que l’on puisse concevoir, les températures conservent leurs rapports primitifs, et celle d’un point diminue comme les puissances successives d’une fraction qui est la même pour tous les points.

On remarquera les mêmes propriétés, si l’on suppose que les températures initiales sont proportionnelles au sinus du double de la distance ${\frac {x}{r}};$ et cela a lieu en général lorsque les températures données sont représentées par $a\sin .\left({\frac {ix}{r}}\right),$ $i$ étant un nombre entier positif quelconque.

On arrivera aux mêmes conséquences en prenant pour valeur particulière de $u$ la quantité $ae^{-\mathrm {K} n^{2}t}\cos .nx.$ On a aussi $2n\pi r=2i\pi ,$ et $n={\frac {i}{r}},$ donc l’équation

$u=ae^{-{\frac {\mathrm {K} i}{r^{2}}}t}\cos .{\frac {ix}{r}}$

exprimera le mouvement de la chaleur dans l’intérieur de l’anneau, si les températures initiales sont représentées par $a\cos .{\frac {ix}{r}}.$

Dans tous les cas où les températures données sont pro-