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Les intégrales doivent être prises depuis $y=0$ jusqu’à $y=1.$ On ne doit employer plusieurs termes de cette série que lorsque la valeur de $x$ n’est pas très-grande ; car, à une distance considérable de l’origine, les températures des différents points de la lame sont sensiblement égales au premier terme

$2e^{-{\frac {\pi }{2}}x}\cos .\left({\frac {\pi }{2}}y\right)\mathrm {S} \left[dy\cos .\left({\frac {\pi }{2}}y\right)\varphi y\right].$

En général, toutes les circonstances du mouvement uniforme de la chaleur sont clairement exprimées dans la solution précédente ; elle fait connaître comment s’opère la propagation de la chaleur par ondes transversales perpendiculaires à la longueur, et en même temps par ondes longitudinales qui partent du milieu du solide, et se dissipent à la surface. Mais nous nous réservons d’exposer ces mêmes conséquences dans des cas plus propres que celui-ci à les rendre sensibles.

V.

Du mouvement linéaire et varié de la chaleur dans
une armille.

31. L’équation qui exprime le mouvement de la chaleur dans une armille est (art. 9)

${\frac {dz}{dt}}=\mathrm {\frac {K}{CD}} .{\frac {d^{2}z}{dx^{2}}}-{\frac {hl}{\mathrm {CDS} }}z.$

Il s’agit maintenant d’intégrer cette équation. On écrira seulement ${\frac {dz}{dt}}=\mathrm {K} .{\frac {d^{2}z}{dx^{2}}}-hz.$ La valeur de $\mathrm {K}$ représente $\mathrm {\frac {K}{CD}} ,$