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ce cas, ne saurait jamais être représenté par l’expression donnée pour $y.$ » Ces objections font assez connaître combien il était nécessaire de démontrer qu’une fonction quelconque peut toujours être développée en séries de sinus ou de cosinus d’ares multiples ; et de toutes les preuves de cette proposition, la plus complète est celle qui consiste à résoudre effectivement une fonction donnée en une telle série, en assignant les valeurs des coëfficients. Dans les recherches auxquelles on peut appliquer les équations aux différences partielles, il est souvent facile de trouver des solutions particulières dont la somme compose une intégrale plus générale. Mais l’emploi de ces solutions exigeait que l’on déterminât les constantes qu’elles renferment. C’est même dans cette détermination des coëfficients que consiste la difficulté de l’application. Il est remarquable que l’on puisse exprimer par des séries convergentes et, comme on le verra dans la suite, par des intégrales définies, les ordonnées des lignes et des surfaces qui ne sont point assujetties à une loi continue. On est conduit par-là à admettre dans le calcul des fonctions qui ont des valeurs égales toutes les fois que la variable reçoit des valeurs quelconques comprises entre deux limites données ; tandis que si l’on substitue dans ces deux fonctions, au lien de la variable, un nombre compris dans un autre intervalle, les résultats des deux substitutions sont différents l’un de l’autre. Les fonctions qui jouissent de cette propriété sont représentées par des lignes différentes, qui ne coïncident que dans une portion déterminée de leur cours, et offrent une espèce singulière d’osculation finie. Ces considérations prennent leur origine dans le calcul des équations aux différences partielles, auquel elles sont pro-