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Si on supposait $\alpha =\pi ,$ tous les termes de la série s’évanouiraient, excepté le premier, qui deviendrait ${\frac {0}{0}},$ et équivaudrait à $\sin .x.$ On aurait alors $\varphi x=\sin .x.$

On peut étendre la même analyse au cas où l’ordonnée représentée par $\varphi x$ serait celle d’une ligne composée de differentes parties, dont les unes seraient des courbes et les autres des lignes droites. Par exemple, si la fonction dont on demande le développement en séries de cosinus d’arcs multiples, a pour valeur $\left({\frac {\pi }{2}}\right)^{2}-x^{2},$ depuis $x=0$ jusqu’à $x={\frac {\pi }{2}},$ et est nulle depuis $x={\frac {\pi }{2}}$ jusqu’à $x=\pi ,$ on emploiera l’équation générale $(\mathrm {N} );$ et en effectuant les intégrations dans les limites données, on trouvera que le terme général $\mathrm {S} \left[\left({\frac {\pi }{2}}\right)^{2}-x^{2}\right]\cos .ixdx$ est égal à ${\frac {2}{i^{3}}}$ lorsque $i$ est impair, à ${\frac {\pi }{i^{3}}}$ lorsque $i$ est double d’un nombre impair, et à $-{\frac {\pi }{i^{3}}}$ lorsque $i$ est quadruple d’un nombre impair. D’un autre côté, on trouvera ${\frac {1}{3}}{\frac {\pi ^{3}}{2^{3}}}$ pour valeur du premier termes ${\frac {1}{2}}\mathrm {S} (\varphi xdx).$ On aura donc le développement suivant :

${\begin{aligned}{\frac {1}{2}}\varphi x={\frac {1}{2.3}}\left({\frac {\pi }{2}}\right)^{2}&+{\frac {2}{\pi }}\left({\frac {\cos .x}{1^{3}}}+{\frac {\cos .3x}{3^{3}}}+{\frac {\cos .5x}{5^{3}}}+{\frac {\cos .7x}{7^{3}}}+\ldots \right)\\&+\left({\frac {\cos .2x}{2^{2}}}-{\frac {\cos .4x}{4^{2}}}+{\frac {\cos .6x}{6^{2}}}-{\frac {\cos .8x}{8^{2}}}+\ldots \right)\end{aligned}}$

On pourra trouver de la même manière le développement d’une fonction de $x$ qui exprime l’ordonnée du contour d’un trapèze. Supposons que $\varphi x$ soit égale à $x$ depuis $x=0$ jusqu’à $x=\alpha ,$ que cette fonction soit égale à $\alpha$ depuis $x=\alpha$