jusqu’à
Les valeurs de
qui entrent sous le signe
étant nulles depuis
jusqu’à
il suffira d’intégrer depuis
jusqu’à
Cela posé, on trouvera pour la série demandée, en supposant que la valeur constante de la fonction est ![{\displaystyle h,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8c92993ef69282ac39ddc98b7150dabfae40c14)
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}\pi \varphi x=h\left[{\frac {(1-\cos .1\alpha )}{1}}\sin .x+{\frac {(1-\cos .2\alpha )}{2}}\sin .2x\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14050f90a03aa332913e60d653ec6f604dd08365)
![{\displaystyle \left.+{\frac {(1-\cos .3\alpha )}{3}}\sin .3x+{\frac {(1-\cos .4\alpha )}{4}}\sin .4x+\ldots \right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1914d45100189fb441e68e8f07f1b8ca3f23a33e)
Si l’on fait
et que l’on représente le sinus verse de l’arc
par
on aura
![{\displaystyle \varphi x=\sin .\mathrm {v} .\alpha \sin .x+{\frac {\sin .\mathrm {v} .2\alpha }{2}}\sin .2x+{\frac {\sin .\mathrm {v} .3\alpha }{3}}\sin .3x+{\frac {\sin .\mathrm {v} .4\alpha }{4}}\sin .4x+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/467198a77dac92d66e8a962ce7c8d04130f1aff9)
Cette série, toujours convergente, est de telle nature que si l’on donne à
une valeur quelconque comprise entre
et
la somme de ses termes est
mais si l’on donne à
une valeur quelconque plus grande que
et moindre que
la somme des termes est ![{\displaystyle 0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/916e773e0593223c306a3e6852348177d1934962)
29. Dans l’exemple suivant, qui n’est pas moins remarquable, les valeurs de
sont égales à
pour toutes les valeurs de
comprises entre
et
et sont nulles pour toutes les valeurs de
comprises entre
et
Pour trouver ce développement, on emploiera l’équation
Les intégrales doivent être prises depuis
jusqu’à
mais il suffira, dans le cas dont il s’agit, de prendre ces intégrales depuis
jusqu’à
puisque les valeurs de
supposées nulles dans le reste de l’intervalle. On en conclura
![{\displaystyle \varphi x=2\alpha \left({\frac {\sin .\alpha \sin .x}{\pi ^{2}-\alpha ^{2}}}+{\frac {\sin .2\alpha \sin .2x}{\pi ^{2}-2^{2}\alpha ^{2}}}+{\frac {\sin .3\alpha \sin .3x}{\pi ^{2}-3^{2}\alpha ^{2}}}+\ldots \right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e8f2907f8b8d1397527f19e931052829498d105)