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jusqu’à $x=\pi .$ Les valeurs de $\varphi x$ qui entrent sous le signe $\mathrm {S}$ étant nulles depuis $x=\alpha$ jusqu’à $x=\pi ,$ il suffira d’intégrer depuis $x=0$ jusqu’à $x=\alpha .$ Cela posé, on trouvera pour la série demandée, en supposant que la valeur constante de la fonction est $h,$

${\frac {1}{2}}\pi \varphi x=h\left[{\frac {(1-\cos .1\alpha )}{1}}\sin .x+{\frac {(1-\cos .2\alpha )}{2}}\sin .2x\right.$

$\left.+{\frac {(1-\cos .3\alpha )}{3}}\sin .3x+{\frac {(1-\cos .4\alpha )}{4}}\sin .4x+\ldots \right].$

Si l’on fait $h={\frac {1}{2}}\pi ,$ et que l’on représente le sinus verse de l’arc $u$ par $\sin .\mathrm {v} .u,$ on aura

$\varphi x=\sin .\mathrm {v} .\alpha \sin .x+{\frac {\sin .\mathrm {v} .2\alpha }{2}}\sin .2x+{\frac {\sin .\mathrm {v} .3\alpha }{3}}\sin .3x+{\frac {\sin .\mathrm {v} .4\alpha }{4}}\sin .4x+\ldots .$

Cette série, toujours convergente, est de telle nature que si l’on donne à $x$ une valeur quelconque comprise entre $0$ et $\alpha ,$ la somme de ses termes est ${\frac {1}{2}}\pi \,;$ mais si l’on donne à $x$ une valeur quelconque plus grande que $\alpha$ et moindre que $\pi ,$ la somme des termes est $0.$

29. Dans l’exemple suivant, qui n’est pas moins remarquable, les valeurs de $\varphi x$ sont égales à $\sin .x$ pour toutes les valeurs de $x$ comprises entre $0$ et $\alpha ,$ et sont nulles pour toutes les valeurs de $x$ comprises entre $\alpha$ et $\pi .$ Pour trouver ce développement, on emploiera l’équation $(\mathrm {M} ).$ Les intégrales doivent être prises depuis $x=0$ jusqu’à $x=\pi \,;$ mais il suffira, dans le cas dont il s’agit, de prendre ces intégrales depuis $x=0$ jusqu’à $x=\alpha ,$ puisque les valeurs de $\varphi x$ supposées nulles dans le reste de l’intervalle. On en conclura

$\varphi x=2\alpha \left({\frac {\sin .\alpha \sin .x}{\pi ^{2}-\alpha ^{2}}}+{\frac {\sin .2\alpha \sin .2x}{\pi ^{2}-2^{2}\alpha ^{2}}}+{\frac {\sin .3\alpha \sin .3x}{\pi ^{2}-3^{2}\alpha ^{2}}}+\ldots \right).$