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toutes les valeurs de $x.$ Les trois développements : n’ont une valeur commune que lorsque la variable $x$ est comprise entre $0$ et ${\frac {1}{2}}\pi .$ La construction des valeurs de ces trois séries, et la comparaison des lignes dont elles expriment les ordonnées, rendraient sensibles la coïncidence et la distinction alternative des valeurs de ces fonctions.

27. Pour donner un second exemple du développement d’une fonction en séries de cosinus d’ares multiples, nous choisirons la fonction $\sin .x,$ qui ne contient que des puissances impaires de la variable, et nous nous proposerons de la développer sous la forme

$a+b\cos .x+c\cos .2x+d\cos .3x+\ldots ,$

en faisant à ce cas particulier l’application de l’équation générale (N). On trouvera pour l’équation cherchée :

${\frac {1}{4}}\pi \sin .x={\frac {1}{2}}-{\frac {\cos .2x}{1.3}}-{\frac {\cos .4x}{3.5}}-{\frac {\cos .6x}{5.7}}-{\frac {\cos .8x}{7.9}}-\ldots .$

On parvient ainsi à développer une fonction qui ne contient que des puissances impaires en une série de cosinus dans laquelle il n’entre que des puissances paires de la variable. Si on donne à $x$ la valeur particulière ${\frac {1}{2}}\pi ,$ on trouvera

${\frac {1}{4}}\pi ={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{1.3}}-{\frac {1}{3.5}}+{\frac {1}{5.7}}-{\frac {1}{7.9}}-\ldots .$

Or de l’équation connue

${\frac {1}{4}}\pi =1-{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}\ldots$