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sont proportionnels aux intégrales définies, dont on peut toujours concevoir les valeurs, quelle que puisse être la fonction proposée. En effet, ces valeurs des coefficients $a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},$ etc. peuvent être facilement représentées par des constructions. Si la fonction proposée, dont on demande le développement en cosinus d’arcs multiples, est la variable $x$ elle-même, on écrira l'équation

${\frac {1}{2}}\pi x=a_{0}+a_{1}\cos .x+a_{2}\cos .2x+a_{3}\cos .3x+\ldots ,$

et l’on aura, pour déterminer un coëfficient quelconque $a_{i},$ l’équation $a_{i}=\mathrm {S} (x\cos .ixdx).$ Cette intégrale étant prise depuis $x=0$ jusqu’à $x=\pi ,$ a une valeur nulle lorsque $i$ est un nombre pair, et est égale à $-{\frac {2}{i^{2}}}$ lorsque $i$ est impair. On a en même temps $a_{0}={\frac {1}{2}}\mathrm {S} xdx,$ ou ${\frac {\pi ^{2}}{4}}.$ On formera donc la série suivante :

$x={\frac {1}{2}}\pi -{\frac {4\cos .x}{\pi }}-{\frac {4\cos .3x}{3^{2}\pi }}-{\frac {4\cos .5x}{5^{2}\pi }}-\ldots .$

On peut remarquer ici que nous sommes parvenus à trois développements différents de ${\frac {1}{2}}x,$ savoir :

${\begin{aligned}{\frac {1}{2}}x&=\sin .x-{\frac {1}{2}}\sin .2x+{\frac {1}{3}}\sin .3x-{\frac {1}{4}}\sin .4x+\ldots \\{\frac {1}{2}}x&={\frac {2}{\pi }}\sin .x-{\frac {2}{3^{2}\pi }}\sin .3x+{\frac {2}{5^{2}\pi }}\sin .5x-{\frac {2}{7^{2}\pi }}\sin .7x-\ldots \\{\frac {1}{2}}x&={\frac {1}{4}}\pi -{\frac {2}{\pi }}\cos .x-{\frac {2}{3^{2}\pi }}\cos .3x-{\frac {2}{5^{2}\pi }}\cos .5x-\ldots \end{aligned}}$

Il faut remarquer que ces trois valeurs de ${\frac {1}{2}}x$ ne doivent point être considérées comme égales, abstraction faite de