sont proportionnels aux intégrales définies, dont on peut toujours concevoir les valeurs, quelle que puisse être la fonction proposée. En effet, ces valeurs des coefficients
etc. peuvent être facilement représentées par des constructions. Si la fonction proposée, dont on demande le développement en cosinus d’arcs multiples, est la variable
elle-même, on écrira l'équation
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}\pi x=a_{0}+a_{1}\cos .x+a_{2}\cos .2x+a_{3}\cos .3x+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39030fc5565a2de6bfd88eb3fec836121031d645)
et l’on aura, pour déterminer un coëfficient quelconque
l’équation
Cette intégrale étant prise depuis
jusqu’à
a une valeur nulle lorsque
est un nombre pair, et est égale à
lorsque
est impair. On a en même temps
ou
On formera donc la série suivante :
![{\displaystyle x={\frac {1}{2}}\pi -{\frac {4\cos .x}{\pi }}-{\frac {4\cos .3x}{3^{2}\pi }}-{\frac {4\cos .5x}{5^{2}\pi }}-\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afa5c24bea485f54bd993d2268c6f4e1e2772fa9)
On peut remarquer ici que nous sommes parvenus à trois développements différents de
savoir :
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{2}}x&=\sin .x-{\frac {1}{2}}\sin .2x+{\frac {1}{3}}\sin .3x-{\frac {1}{4}}\sin .4x+\ldots \\{\frac {1}{2}}x&={\frac {2}{\pi }}\sin .x-{\frac {2}{3^{2}\pi }}\sin .3x+{\frac {2}{5^{2}\pi }}\sin .5x-{\frac {2}{7^{2}\pi }}\sin .7x-\ldots \\{\frac {1}{2}}x&={\frac {1}{4}}\pi -{\frac {2}{\pi }}\cos .x-{\frac {2}{3^{2}\pi }}\cos .3x-{\frac {2}{5^{2}\pi }}\cos .5x-\ldots \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c8d23685fdf886c5953b2492340768beabca7fb)
Il faut remarquer que ces trois valeurs de
ne doivent point être considérées comme égales, abstraction faite de