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fera connaître la valeur du coëfficient $a_{i}.$ Pour trouver le premier coëfficient $a_{1},$ on remarquera que dans l’intégrale

$\int (\cos .mx.\cos .nxdx),$

ou $\qquad \qquad {\frac {1}{2(m+n)}}\sin .(m+n)x+{\frac {2}{(m-n)}}\sin .(m-n)x,$

si $m=0$ et $n=0,$ chacun des termes devient ${\frac {0}{0}},$ et la valeur de chaque terme est ${\frac {1}{2}}\pi .$ Ainsi l’intégrale

$\mathrm {S} (\cos .mx\cos .nxdx,$

prise depuis $x=0$ jusqu’à $x=\pi ,$ est nulle lorsque les deux nombres entiers $m$ et $n$ sont différents ; elle est ${\frac {1}{2}}\pi$ lorsque les deux nombres $m$ et $n$ sont égaux, mais différents de zéro ; elle est égale à $\pi$ lorsque $m$ et $n$ sont l’un et l’autre égaux à zéro. On obtient ainsi l’équation suivante :

${\frac {1}{2}}\pi \varphi x={\frac {1}{2}}\mathrm {S} (\varphi xdx)+\cos .x\mathrm {S} \left(\varphi x\cos .xdx\right)+\cos .2x\mathrm {S} (\varphi x\cos .2xdx)+\ldots$

$+\cos .ix\mathrm {S} (\varphi x\cos .ixdx)+\ldots .\qquad$(N)

Le sigue $\mathrm {S}$ indique que les intégrations doivent être faites depuis $x=0$ jusqu’à $x=\pi .$ Ce théorème et le précédent conviennent à toutes les fonctions possibles, soit que l’on puisse exprimer, par les moyens connus de l’analyse, la nature de la fonction, soit qu’elle corresponde à une courbe tracée d’une manière quelconque entièrement arbitraire. Nous voyons en effet que les coëfficients $a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},\ldots$ qui entrent dans le développement cherché

$a_{0}+a_{1}\cos .x+a_{2}\cos .2x+a_{3}\cos .3x+\ldots +a_{i}\cos .ix+\ldots$