fera connaître la valeur du coëfficient
Pour trouver le premier coëfficient
on remarquera que dans l’intégrale
![{\displaystyle \int (\cos .mx.\cos .nxdx),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/155303d51e85eb42e2224c5919356a0d6420d307)
ou
![{\displaystyle \qquad \qquad {\frac {1}{2(m+n)}}\sin .(m+n)x+{\frac {2}{(m-n)}}\sin .(m-n)x,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5d6e2c876a47a3dea1b23cf24ad4c0e422d9967)
si
et
chacun des termes devient
et la valeur de chaque terme est
Ainsi l’intégrale
![{\displaystyle \mathrm {S} (\cos .mx\cos .nxdx,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ef9f60bde5115ab43b337e1bf40c4321616d77f)
prise depuis
jusqu’à
est nulle lorsque les deux nombres entiers
et
sont différents ; elle est
lorsque les deux nombres
et
sont égaux, mais différents de zéro ; elle est égale à
lorsque
et
sont l’un et l’autre égaux à zéro. On obtient ainsi l’équation suivante :
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}\pi \varphi x={\frac {1}{2}}\mathrm {S} (\varphi xdx)+\cos .x\mathrm {S} \left(\varphi x\cos .xdx\right)+\cos .2x\mathrm {S} (\varphi x\cos .2xdx)+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67e98ecbee28265cafeea68075d0ec07435d556f)
![{\displaystyle +\cos .ix\mathrm {S} (\varphi x\cos .ixdx)+\ldots .\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c46294c620b93f8ed5deb9cad290939a0efd718)
(N)
Le sigue
indique que les intégrations doivent être faites depuis
jusqu’à
Ce théorème et le précédent conviennent à toutes les fonctions possibles, soit que l’on puisse exprimer, par les moyens connus de l’analyse, la nature de la fonction, soit qu’elle corresponde à une courbe tracée d’une manière quelconque entièrement arbitraire. Nous voyons en effet que les coëfficients
qui entrent dans le développement cherché
![{\displaystyle a_{0}+a_{1}\cos .x+a_{2}\cos .2x+a_{3}\cos .3x+\ldots +a_{i}\cos .ix+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e05a2eb3a7af62e58238228a1e61c5eac8a3c95b)