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On peut employer une analyse semblable pour développer une fonction quelconque en séries de cosinus d’arcs multiples. Soit $\varphi x$ la fonction dont on demande le développement, on aura

$\varphi x=a.\cos .0x+a_{1}\cos .1x+a_{2}\cos .2x+\ldots +a_{i}\cos .ix+\ldots \quad (e)$

Si on multiplie chacun des deux membres de cette équation par $\cos .ixdx,$ et que l’on intègre chacun des termes du second membre depuis $x=0$ jusqu’à $x=\pi ,$ il est facile de s’assurer que la valeur de cette intégrale sera nulle, excepté pour le seul terme qui contient déja $\cos .ix.$ Cette remarque donne immédiatement la valeur du coëfficient $a_{i}.$ Il suffira en général de considérer la valeur de l’intégrale

$\int (\cos .mx\cos .nxdx),$

prise depuis $x=0$ jusqu’à $x=\pi .$ En supposant que $m$ et $n$ sont des nombres entiers différents, on a

$\int \cos .mx\cos .nxdx={\frac {1}{2(m+n)}}\sin .(m+n)x+{\frac {1}{2(m+n)}}\sin .(m-n)x+\mathrm {C} .$

Cette intégrale, prise depuis $x=0$ jusqu’à $x=\pi ,$ est évidemment nulle toutes les fois que $m$ et $n$ sont deux nombres différents. Il n’en est pas de même lorsque ces deux nombres sont égaux ; le dernier terme ${\frac {1}{2(m-n)}}\sin .(m-n)x$ devient ${\frac {0}{0}},$ et sa véritable valeur est ${\frac {\pi }{2}}$ lorsque l’arc $x$ est égal à $\pi .$ Si donc on multiplie les deux termes de l’équation précédente $(e)$ par $\cos .ix,$ et que l’on intègre depuis $0$ jusqu’à $\pi ,$ on aura $\mathrm {S} \left(\varphi x\cos .ixdx\right)=a_{i}.{\frac {1}{2}}\pi ,$ équation qui