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25. On développera pareillement en séries de sinus d’arcs multiples, les fonctions différentes de celles où il n’entre que des puissances impaires de la variable. Pour apporter un exemple qui ne laisse aucun doute sur la possibilité de ce développement, je choisirai la fonction $\cos .x,$ qui ne contient que des puissances paires, et qu’on développera sous la forme suivante : $a\sin .x+b\sin .2x+c\sin .3x+\ldots ,$ quoiqu’il n’entre dans cette dernière série que des puissances impaires. On aura en effet, d’après le théorème précédent,

${\frac {1}{2}}\pi \cos .x=\sin .x\mathrm {S} (\cos .x\sin .xdx)+\sin .2x\mathrm {S} (\cos .x\sin .2xdx)+{\text{etc}}.$

L’intégrale $\mathrm {S} (\cos .x\sin .ixdx)$ équivaut à zéro lorsque $i$ est un nombre impair, et à ${\frac {2i}{i^{2}-1}}$ lorsque $i$ est un nombre pair ; si l’on fait successivement $i=2,\ =4,\ =6,$ etc. on aura la série toujours convergente

${\frac {1}{4}}\pi \cos .x={\frac {2}{1.3}}\sin .2x+{\frac {4}{3.5}}\sin .4x+{\frac {6}{5.7}}\sin .6x+$etc.

Ce résultat a cela de remarquable, qu’il offre le développement du cosinus en une suite de fonctions dont chacune ne contient que des puissances impaires. Si on fait dans l’équation précédente $x={\frac {1}{4}}\pi ,$ on trouvera

${\begin{aligned}{\frac {1}{4}}{\frac {\pi }{\sqrt {2}}}={\frac {2}{1.3}}-{\frac {6}{5.7}}+{\frac {10}{9.11}}-{\frac {14}{13.15}}\ldots &={\frac {1}{2}}\left({\frac {4}{1.3}}-{\frac {10}{5.7}}+{\frac {20}{9.11}}-\ldots \right)\\&={\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{1}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}-\ldots \right)\end{aligned}}$

Cette dernière série est connue (Introd. ad analysin infin. Cap. X).