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que l’on a trouvée précédemment. Dans ce cas les courbes dont nous avons parlé plus haut, et qui ont pour équations

$y=\sin .x,\quad y=\sin .2x,\quad y=\sin .3x,\quad y=\sin .4x,\ldots$

n’éprouvent aucun changement lorsqu’on multiplie leurs ordonnées par les ordonnées correspondantes de la courbe arbitraire, parce qu’on suppose ici que cette dernière courbe a toutes ses ordonnées égales à l’unité. Les coëfficients $a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},\ldots$ sont les aires comprises entre ces courbes et l’axe, depuis $x=0$ jusqu’à $x=\pi .$ Ces aires sont en effet proportionnelles à $1,0,{\frac {1}{2}},0,$ ${\frac {1}{3}},0,{\frac {1}{5}},0,\ldots .$ Il faut toujours remarquer que lorsqu’on est parvenu à développer une fonction $\varphi x$ en série de sinus d’arcs multiples, la valeur du développement $a\sin .x+b\sin .2x+c\sin .3x+\ldots$ est la même que celle de la fonction $\varphi x,$ tant que la valeur de la variable $x$ est comprise entre $0$ et $\pi :$ mais lorsque la valeur de $x$ sort de ces limites, celle du développement et celle de la fonction ne sont point nécessairement égales, et peuvent devenir entièrement différentes. Cette conséquence est manifeste dans l’exemple suivant.

Supposons que la fonction dont on demande le développement soit $x:$ on aura, d’après le théorème précédent,

${\frac {1}{2}}\pi x=\sin .x\mathrm {S} (x\sin .xdx)+\sin .2x\mathrm {S} (\sin .2xdx)+\ldots .$

L’intégrale $\mathrm {S} x\sin .ixdx,$ prise entre les limites convenables, équivaut à $\pm {\frac {\pi }{i}}.$ Le signe $+$ doit être choisi lorsque $i$ est impair, et le signe $-$ lorsque $i$ est pair. On aura donc pour les valeurs des divers coëfficients,

${\frac {1}{2}}x=\sin .x-{\frac {1}{2}}\sin .2x+{\frac {1}{3}}\sin .3x-{\frac {1}{4}}\sin .4x+\ldots$