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tégrale deviendra nulle lorsqu’on fera $x=\pi .$ Il s’ensuit que chacun des termes, tels que

$a_{1}\mathrm {S} (\sin .x\sin .ixdx),\qquad a_{2}\mathrm {S} (\sin .2x\sin .ixdx),\ldots$

s’évanouit, et que cela aura lieu toutes les fois que les nombres $i$ et $h$ seront différents. Il n’en est pas de même lorsque les nombres $i$ et $h$ sont égaux, car le terme ${\frac {1}{i-h}}\sin .(i-h).x,$ auquel se réduit l’intégrale, devient ${\frac {0}{0}},$ et sa véritable valeur est $\pi .$ On a par conséquent $2\mathrm {S} (\sin .ix\sin .ixdx)=\pi .$ On obtient ainsi de la manière la plus briève les valeurs de $a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},$ qui sont

$a_{1}={\frac {S(\varphi x\sin .1xdx)}{{\frac {1}{2}}\pi }},\quad a_{2}={\frac {S(\varphi x\sin .2xdx)}{{\frac {1}{2}}\pi }},\quad a_{3}={\frac {S(\varphi x\sin .3xdx)}{{\frac {1}{2}}\pi }},\ldots$

$a_{i}={\frac {S(\varphi x\sin .ixdx)}{{\frac {1}{2}}\pi }},\ldots$

et en les substituant, on a

${\frac {1}{2}}\pi \varphi x=\sin .x\mathrm {S} (\varphi x\sin .xdx)+\sin .2x\mathrm {S} (\varphi x\sin .2xdx)$

$+\sin .3xS(\varphi x\sin .3xdx)+\ldots +\sin .ixS(\varphi x\sin .ixdx)+\ldots .$

Le cas le plus simple est celui où la fonction de $x$ donnée a une valeur constante pour toutes les valeurs de la variable $x,$ comprise entre $0$ et $\pi ;$ dans ce cas, l’intégrale $\int (\sin .ixdx)$ est égale à ${\frac {2}{i}}$ si le nombre $i$ est impair, et égale à $0$ si le nombre $i$ est pair. On en déduit l’équation

${\frac {1}{4}}\pi =\sin .x+{\frac {1}{3}}\sin .3x+{\frac {1}{5}}\sin .5x+{\frac {1}{7}}\sin .7x+\ldots$