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${\frac {1}{2}}\pi \varphi x=a\sin .x+b\sin .2x+c\sin .3x+d\sin .4x+\ldots .$

On peut aussi vérifier l’équation précédente $(\mathrm {M} ),$ en déterminant immédiatement les quantités $a_{1},a_{2},a_{3},\ldots a_{i},\ldots$ dans l’équation

$\varphi x=a_{1}\sin .x+a_{2}\sin .2x+a_{3}\sin .3x+\ldots +a_{i}\sin .ix+\ldots .$

Pour cela, on multipliera chacun des membres de la dernière équation par $\sin .ixdx,$ $i$ étant un nombre entier, et l’on prendra l’intégrale depuis $x=0$ jusqu’à $x=\pi \,;$ on aura, en représentant ces intégrations par le signe $\mathrm {S} ,$

$\mathrm {S} \varphi x\sin .ixdx=a_{1}\mathrm {S} (\sin .x\sin .ixdx)+a_{2}\mathrm {\mathrm {S} } (\sin .2x\sin .ixdx)+\ldots$

$+a_{i}\mathrm {S} (\sin .ix\sin .ixdx)+\ldots .$

Or on peut facilement prouver, 1^o que toutes les intégrales qui entrent dans le second membre ont une valeur nulle, excepté le seul terme $\mathrm {S} (\sin .ix\sin .ixdx)\,;$ 2^o que la valeur de $\mathrm {S} (\sin .ix\sin .ixdx)$ est ${\frac {1}{2}}\pi :$ d’où on conclura la valeur de $a_{i},$ qui est ${\frac {\mathrm {S} \varphi x\sin .ixdx}{{\frac {1}{2}}\pi }}.$ Ainsi tout se réduit à considérer la valeur des intégrales qui entrent dans le second membre. Or l’intégrale $2\mathrm {S} (\sin .ix\sin .hxdx),$ depuis $x=0$ jusqu’à $x=\pi ,$ et dans laquelle $i$ et $h$ sont des nombres entiers, est ..... $\mathrm {C} +{\frac {1}{i-h}}\sin .({\overline {i-h}})x-{\frac {1}{i+h}}\sin .({\overline {i+h}})x.$ l’intégrale devant commencer lorsque $x=0,$ la constante est nulle, et les nombres $i$ et $h$ étant entiers, la valeur de l’in-