![{\displaystyle s=a\cos .n\pi +b\sin .n\pi +n\sin .n\pi \int \cos .n\pi \,\varphi \pi \,d\pi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/257b4e55b92f343259939d23054563535c17943e)
![{\displaystyle -n\cos .n\pi \int \sin .n\pi \,\varphi \pi \,d\pi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c232bccf3cddc0af06a30806250b84911502a64c)
étant un nombre entier, on a
et la constante pouvant faire partie du terme intégral,
Le signe
doit être choisi lorsque
est impair, et le signe
lorsque ce nombre est pair. On doit supposer
égal à la demi-circonférence, après l’intégration indiquée. Ce résultat se vérifie de lui-même, lorsqu’on développe, au moyen de l’intégration par parties, le terme
en remarquant que la fonction
ne contient que des puissances impaires de la variable, et en prenant l’intégrale depuis
jusqu’à
on en conclut immédiatement que ce terme équivaut à
![{\displaystyle \pm \left(\varphi \pi -{\frac {\varphi ''\pi }{n^{2}}}+{\frac {\varphi ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\pi }{n^{4}}}-{\frac {\varphi ^{\scriptscriptstyle {\text{VI}}}\pi }{n^{6}}}+\ldots \right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5f425df08bd348ce1d8f0de6f23f031d9e69aee)
Si on substitue cette valeur de
dans l’équation
en prenant le signe
lorsque le terme de cette équation est impair, et le signe
lorsque
est pair, on aura en général
pour le coëfficient de
On parvient de cette manière à un résultat très-remarquable, exprimé par l’équation suivante :
![{\displaystyle (\mathrm {M} )={\frac {1}{2}}\pi \varphi (x)=\sin .x\mathrm {S} (dx\varphi x\sin .x)+\sin .2x.\mathrm {S} (dx\varphi x\sin .2x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/660af91a89ac5987d00af04e9004e2437c979aa2)
![{\displaystyle +\sin .3x.\mathrm {S} (dx\varphi x\sin .3x)+\sin .4x.\mathrm {S} (dx\varphi x\sin .4x)+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f929e48c7f7c86b2603f3f6ac3486949ed1477c3)
Le second membre donnera toujours le développement