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$s=a\cos .n\pi +b\sin .n\pi +n\sin .n\pi \int \cos .n\pi \,\varphi \pi \,d\pi$

$-n\cos .n\pi \int \sin .n\pi \,\varphi \pi \,d\pi .$

$n$ étant un nombre entier, on a $s=\mathrm {C} \pm n\int \varphi \pi \sin .n\pi \,d\pi .$ et la constante pouvant faire partie du terme intégral, ${\frac {s}{n}}=\pm \int \varphi \pi \sin .n\pi .d\pi .$ Le signe $+$ doit être choisi lorsque $n$ est impair, et le signe $-$ lorsque ce nombre est pair. On doit supposer $\pi$ égal à la demi-circonférence, après l’intégration indiquée. Ce résultat se vérifie de lui-même, lorsqu’on développe, au moyen de l’intégration par parties, le terme $\int \varphi x\sin .nx.dx.$ en remarquant que la fonction $\varphi x$ ne contient que des puissances impaires de la variable, et en prenant l’intégrale depuis $x=0$ jusqu’à $x=\pi ,$ on en conclut immédiatement que ce terme équivaut à

$\pm \left(\varphi \pi -{\frac {\varphi ''\pi }{n^{2}}}+{\frac {\varphi ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\pi }{n^{4}}}-{\frac {\varphi ^{\scriptscriptstyle {\text{VI}}}\pi }{n^{6}}}+\ldots \right).$

Si on substitue cette valeur de ${\frac {s}{n}}$ dans l’équation $(\mathrm {B} ),$ en prenant le signe $+$ lorsque le terme de cette équation est impair, et le signe $-$ lorsque $n$ est pair, on aura en général $\mathrm {S} (\varphi x\sin .nx\,dx)$ pour le coëfficient de $\sin .nx.$ On parvient de cette manière à un résultat très-remarquable, exprimé par l’équation suivante :

$(\mathrm {M} )={\frac {1}{2}}\pi \varphi (x)=\sin .x\mathrm {S} (dx\varphi x\sin .x)+\sin .2x.\mathrm {S} (dx\varphi x\sin .2x)$

$+\sin .3x.\mathrm {S} (dx\varphi x\sin .3x)+\sin .4x.\mathrm {S} (dx\varphi x\sin .4x)+\ldots$

Le second membre donnera toujours le développement