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On pourrait multiplier ces applications à l’infini, et en déduire plusieurs séries remarquables. J’ai choisi l’exemple précédent, parce qu’il se présente dans diverses questions relatives à la propagation de la chaleur.

23. Nous avons supposé jusqu’ici que la fonction dont on demande le développement en séries de sinus d’ares multiples, peut être développée suivant les puissances de la variable $x,$ et qu’il n’entre dans cette dernière série que des puissances impaires. Mais on peut étendre les mêmes conséquences à des fonctions quelconques, même à celles qui seraient discontinues et entièrement arbitraires. Pour établir clairement la vérité de cette proposition, il est nécessaire de poursuivre l’analyse qui fournit l’équation précédente $(\mathrm {B} ),$ et d’examiner quelle est la nature des coëfficients qui multiplient $\sin .x,\,\sin .2x,\,\sin .3x,$ $\sin .4x,\ldots .$ En désignant par ${\frac {1}{n}}$ la quantité qui multiplie dans cette équation $\sin .x,$ si $n$ est impair, et $-\sin .x,$ si $n$ est pair, on aura

$s=\varphi \pi -{\frac {1}{n^{2}}}\varphi ''\pi +{\frac {1}{n^{4}}}\varphi ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\pi +\ldots .$

Considérant $s$ comme une fonction de $\pi ,$ différentiant deux fois, et comparant les résultats, on trouve

$s+{\frac {1}{n}}{\frac {d^{2}s}{d\pi ^{2}}}=\varphi \pi ,$

équation à laquelle la valeur précédente de $s$ doit satisfaire. Cette équation, dans laquelle $s$ est considérée comme une fonction de la variable, a pour intégrale