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Si maintenant on met au lieu de $x$ sa valeur tirée de l’équation

${\frac {1}{2}}x=\sin .x-{\frac {1}{2}}\sin .2x+{\frac {1}{3}}\sin .3.x-{\frac {1}{4}}\sin .4x+$etc.

on obtiendra la même équation que ci-dessus.

${\frac {1}{2}}x^{3}=\left(\pi ^{2}-{\frac {2.3}{1^{2}}}\right)\sin .x-\left(\pi ^{2}-{\frac {2.3}{2^{2}}}\right){\frac {\sin .2x}{2}}+$etc.

On parviendrait de la même manière à développer en séries de sinus multiples les puissances, $x^{5},\,x^{7},\,x^{9},\ldots \,;$ et en général toute fonction dont le développement ne contiendrait que des puissances impaires de la variable.

L’équation $(A)$ peut être mise sous une forme plus simple que nous allons faire connaître. On remarque d’abord qu’une partie du coëfficient de $\sin .x$ est la série

$\varphi '0+{\frac {\pi ^{2}}{2.3}}\varphi '''0+{\frac {\pi ^{4}}{2.3.4.5}}\varphi ^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}0+{\frac {\pi ^{6}}{2.3.4.5.6.7}}\varphi ^{\scriptscriptstyle {\text{VII}}}0+$etc.

qui représente la quantité ${\frac {1}{\pi }}\varphi \pi .$ Car on a en général

$\varphi x=\varphi 0+x\varphi '0+{\frac {x^{2}}{2}}\varphi ''0+{\frac {x^{3}}{2.3}}\varphi '''0+{\frac {x^{4}}{2.3.4}}\varphi ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}0+$etc.

Or la fonction $\varphi x$ ne contenant par hypothèse que des puissances impaires, on doit avoir $\varphi 0=0,$ $\varphi ''0=0,$ $\varphi ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}0=0,\ldots ,$ ainsi de suite. Donc $\varphi x=x\varphi '0+{\frac {x^{3}}{2.3}}\varphi '''0+{\frac {x^{5}}{2.3.4.5}}\varphi ^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}0+$ etc. Une seconde partie du coëfficient de $\sin .x$ se trouve en multipliant par $-{\frac {1}{2}}$ la série $\varphi '''0+{\frac {x^{2}}{2.3}}\varphi ^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}0+{\frac {x^{4}}{2.3.4.5}}\varphi ^{\scriptscriptstyle {\text{VII}}}0+\ldots ,$ dont la valeur est ${\frac {1}{\pi }}\varphi '\pi .$ On détermine de cette manière les différentes parties du coëfficient de $\sin .x,$ et celles qui com-