Le cas qui se présente le premier est celui où l’on aurait
On trouve alors
et
ainsi du reste : on aura donc la série
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}x=\sin .x-{\frac {1}{2}}\sin .2x+{\frac {1}{3}}\sin .3x-{\frac {1}{4}}\sin .4x+}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24ccf4a0df8fad2c98f0d3452266f926e49fe242)
etc.,
qui a été donnée par Euler.
Si on suppose que la fonction de
proposée soit
on aura
et
etc.; ce qui donnera l’équation
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}x^{3}=\left(\pi ^{2}-{\frac {2.3}{2^{2}}}\right){\frac {\sin .2x}{2}}+\left(\pi ^{2}-{\frac {2.3}{3^{2}}}\right){\frac {\sin .3x}{3}}+}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/294dffc39931fbb68e19713aeca485e229a5c1b0)
etc.
On parviendrait à ce même résultat en partant de l’équation précédente
etc. En effet, en multipliant chacun des membres par
et intégrant, on aura........
etc. La valeur de la constante est
![{\displaystyle -1+{\frac {1}{2^{2}}}-{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}-{\frac {1}{5^{2}}}+}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4a6ebff98a5dad52eda72458f7497c0183382db)
etc.,
série dont on sait la somme est
Multipliant par
les deux membres de l’équation
![{\displaystyle {\frac {x^{2}}{4}}={\frac {\pi ^{2}}{2.3}}-\cos .x+{\frac {1}{2^{2}}}\cos .2x-{\frac {1}{3^{2}}}\cos .3x+{\frac {1}{4^{2}}}\cos .4x+}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8759ea035f3ba084664e394d53018fd8c9b0d696)
etc.
et intégrant, on aura
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}{\frac {x^{3}}{2.3}}={\frac {\pi ^{2}}{2.3}}x-\sin .x+{\frac {1}{2^{2}}}\sin .2x-{\frac {1}{3^{2}}}\sin .3x+}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d745bbf74d53ccecb779c4da1075c950b0e46fbc)
etc.