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${\begin{aligned}\mathrm {P} \ldots \ldots &{\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+{\text{etc}}.\\\mathrm {Q} \ldots \ldots &{\frac {1}{1^{2}.2^{2}}}+{\frac {1}{1^{2}.3^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}.3^{2}}}+{\text{etc}}.\\\mathrm {R} \ldots \ldots &{\frac {1}{1^{2}.2^{2}.3^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}.3^{2}.4^{2}}}+{\text{etc}}.\\\mathrm {S} \ldots \ldots &{\frac {1}{1^{2}.2^{2}.3^{2}.4^{2}}}+{\text{etc}}.\\{\text{etc}}.\qquad &\end{aligned}}$

La série $\sin .x=x-{\frac {x^{3}}{2.3}}+{\frac {x^{5}}{2.3.4.5}}-{\frac {x^{7}}{2.3.4.5.6.7}}+$ etc. nous fournira les quantités $\mathrm {P,\,Q,\,R,\,S,\,T} ,$ etc. En effet, la valeur du sinus étant exprimée par l’équation

$\sin .x=x\left(1-{\frac {x^{2}}{1^{2}\pi ^{2}}}\right)\left(1-{\frac {x^{2}}{2^{2}\pi ^{2}}}\right)\left(1-{\frac {x^{2}}{3^{2}\pi ^{2}}}\right)\left(1-{\frac {x^{2}}{4^{2}\pi ^{2}}}\right)\ldots ,$

on aura

$1-{\frac {x^{2}}{2.3}}+{\frac {x^{4}}{2.3.4.5}}-{\frac {x^{6}}{2.3.4.5.6.7}}+{\text{etc}}.=\left(1-{\frac {x^{2}}{1^{2}\pi ^{2}}}\right)\left(1-{\frac {x^{2}}{2^{2}\pi ^{2}}}\right)\left(1-{\frac {x^{2}}{3^{2}\pi ^{2}}}\right)\ldots ,$

d’où l’on conclut immédiatement

${\begin{aligned}\mathrm {P} =&{\frac {\pi ^{2}}{2.3.}}\\\mathrm {Q} =&{\frac {\pi ^{4}}{2.3.4.5}}\\\mathrm {R} =&{\frac {\pi ^{6}}{2.3.4.5.6.7}}\\\mathrm {S} =&{\frac {\pi ^{8}}{2.3.4.5.6.7.8.9}}\end{aligned}}$

etc.

Supposons maintenant que $\mathrm {P} _{n},\mathrm {Q} _{n},\mathrm {R} _{n},\mathrm {S} _{n}\ldots$ representent les produits différents que l’on peut faire avec les frac-