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Si l’on considère maintenant les équations (c), qui donnent les valeurs des coëfficients $a,\,b,\,c,\,d,$ on aura les résultats suivants :

${\begin{aligned}a\;\;{\frac {(2^{2}-1\;)(3^{2}-1\;)(4^{2}-1\;)(5^{2}-1\;)\ldots }{2^{2}\quad .\quad 3^{2}\quad .\quad 4^{2}\quad .\quad 5^{2}\ldots }}=&\mathrm {A-BP_{1}+CQ_{1}-DR_{1}+ES_{1}-etc.} \\2b{\frac {(1^{2}-2^{2})(3^{2}-2^{2})(4^{2}-2^{2})(5^{2}-2^{2})\ldots }{1^{2}\quad .\quad 3^{2}\quad .\quad 4^{2}\quad .\quad 5^{2}\ldots }}=&\mathrm {A-BP_{2}+CQ_{2}-DR_{2}+ES_{2}-etc.} \\3c{\frac {(1^{2}-3^{2})(2^{2}-3^{2})(4^{2}-3^{2})(5^{2}-3^{2})\ldots }{1^{2}\quad .\quad 2^{2}\quad .\quad 4^{2}\quad .\quad 5^{2}\ldots }}=&\mathrm {A-BP_{3}+CQ_{3}-DR_{3}+ES_{3}-etc.} \\4d{\frac {(1^{2}-4^{2})(2^{2}-4^{2})(3^{2}-4^{2})(5^{2}-4^{2})\ldots }{1^{2}\quad .\quad 2^{2}\quad .\quad 3^{2}\quad .\quad 5^{2}\ldots }}=&\mathrm {A-BP_{4}+CQ_{4}-DR_{4}+ES_{4}-etc.} \\{\text{etc}}.\qquad \qquad &\end{aligned}}$

En observant quels sont les facteurs qui manquent au numérateur et au dénominateur pour y compléter la double série des nombres naturels, on voit que ces facteurs se réduisent dans le premier cas à $-{\frac {1}{1}}.{\frac {1}{2}},$ dans le second à $-{\frac {2}{2}}.{\frac {2}{4}},$ dans le troisième à $-{\frac {3}{3}}.{\frac {3}{6}},$ dans le quatrième à $-{\frac {4}{4}}.{\frac {4}{8}}.$ En sorte que les produits qui multiplient $a,2b,3c,4d,\ldots$ sont alternativement ${\frac {1}{2}}$ et $-{\frac {1}{2}}.$ Il ne s’agit donc plus que de trouver les quantités $\mathrm {P_{1},Q_{1},R_{1}} ,\ldots ,$ $\mathrm {P_{2},Q_{2},R_{2}} ,\ldots ,$ $\mathrm {P_{3},Q_{3},R_{3}} ,\ldots ,$ etc. Pour y parvenir, on remarquera que l’on peut faire dépendre ces valeurs des quantités $\mathrm {P,\,Q,\,R,\,S,\,T} \ldots ,$ qui représentent les différents produits que l’on peut former avec les fractions ${\frac {1}{1^{2}}},{\frac {1}{2^{2}}},{\frac {1}{3^{2}}},{\frac {1}{4^{2}}},\ldots$ sans en omettre aucune. Quant à ces derniers produits, leurs valeurs sont données par les séries des développements de sinus. Nous représenterons donc par