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tenant on représente par $\mathrm {P,Q,R,S} ,$ etc. les quantités

${\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+$ etc., $\quad {\frac {1}{1^{2}.3^{2}}}+{\frac {1}{1^{2}.4^{2}}}+{\frac {1}{1^{2}.5^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}.4^{2}}}+$ etc.,

${\frac {1}{1^{2}.3^{2}.4^{2}}}+{\frac {1}{1^{2}.3^{2}.5^{2}}}+$ etc., $\quad {\frac {1}{1^{2}.3^{2}.4^{2}.5^{2}}}+$ etc., etc.

que l’on forme par les combinaisons des fractions ${\frac {1}{1^{2}}},{\frac {1}{2^{2}}},{\frac {1}{3^{2}}},{\frac {1}{4^{2}}},{\frac {1}{5^{2}}},\ldots$ à l’infini, en omettant la seconde de ces fractions ${\frac {1}{2^{2}}},$ on aura pour déterminer la valeur de $b,$ l’équation

$2b_{2}{\frac {\left(1^{2}-2^{2}\right)\ldots }{1^{2}.3^{2}.4^{2}.5^{2}\ldots }}=\mathrm {A-BP_{2}+CQ_{2}-DR_{2}+ES_{2}-FT_{2}+etc} .$

En représentant en général par $\mathrm {P} _{n},\mathrm {Q} _{n},\mathrm {R} _{n},\mathrm {S} _{n},\mathrm {T} _{n},{\text{etc}}.$ les sommes de produits que l’on peut faire en combinant diversement toutes les fractions ${\frac {1}{1^{2}}},{\frac {1}{2^{2}}},{\frac {1}{3^{2}}},{\frac {1}{4^{2}}},\ldots$ à l’infini, après avoir seulement omis la fraction ${\frac {1}{n^{2}}},$ on aura en général pour déterminer les quantités $a_{1},b_{2},c_{3},d_{4},e_{5},$ etc., les équations suivantes :

${\begin{aligned}\mathrm {A_{1}-BP_{1}+CQ_{1}-DR_{1}+ES_{1}-etc} =&a_{1}{\frac {1}{2^{2}.3^{2}.4^{2}.5^{2}\ldots }}\\\mathrm {A_{2}-BP_{2}+CQ_{2}-DR_{2}+ES_{2}-etc} =&2b_{2}{\frac {\left(1^{2}-2^{2}\right)}{1^{2}.3^{2}.4^{2}.5^{2}\ldots }}\\\mathrm {A_{3}-BP_{3}+CQ_{3}-DR_{3}+ES_{3}-etc} =&3c_{3}{\frac {\left(1^{2}-3^{2}\right)\left(2^{2}-3^{2}\right)}{1^{2}.2^{2}.4^{2}.5^{2}.6^{2}\ldots }}\\\mathrm {A_{4}-BP_{4}+CQ_{4}-DR_{4}+ES_{4}-etc} =&4d_{4}{\frac {\left(1^{2}-4^{2}\right)\left(2^{2}-4^{2}\right)\left(3^{2}-4^{2}\right)}{1^{2}.2^{2}.3^{2}.5^{2}.6^{2}\ldots }}\end{aligned}}$

etc.,                                                  etc.