On examinera en premier lieu le cas où il s’agit de developper en série de sinus d’arcs multiples, une fonction qui be contient que des puissances impaires de la variable 
Désignant une telle fonction par 
on posera l’équation
etc.;
et il s’agit de déterminer la valeur des coëfficients 
On écrira d’abord l’équation
dans laquelle 
désignent les valeurs que prennent les coëfficients 
lorsqu’on y suppose 
Ainsi, en représentant le développement selon les puissances de 
par l’équation
on aura
etc. etc.
Si maintenant on compare l’équation précédente à celle-ci :
en développant le second membre par rapport aux puissances de 
on aura les équations
