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riable de la valeur de $y.$ Si le nombre $m$ est infini, comme on le suppose, on considérera la première équation seulement, et il est manifeste que les deux termes qui suivent la constante $\mathrm {C}$ deviennent de plus en plus petits, en sorte que $2y$ a pour limite la constante $\mathrm {C} .$ Pour déterminer cette constante, on suppose $x=0$ dans l’équation $2y=\mathrm {C} ,$ et l’on en conclut l’équation

${\frac {\pi }{4}}=\cos .x-{\frac {1}{3}}\cos .3x+{\frac {1}{5}}\cos .5x-{\frac {1}{7}}\cos .7x+$etc.

Il est facile de voir que cette équation aura lieu toutes les fois que l’arc $x$ sera moindre que ${\frac {1}{2}}\pi .$ Car si cet arc a une valeur déterminée $\mathrm {X} ,$ aussi voisine de ${\frac {1}{2}}\pi$ qu’on voudra le supposer, on pourra toujours donner à $m$ une valeur si grande, que le terme ${\frac {\mathrm {K} }{2m}}(\sec .x-\sec .0),$ qui complète la série, devienne moindre qu’une quantité quelconque.

On peut appliquer la même analyse aux diverses séries qui expriment (art. 19, page 274), les valeurs de

${\frac {1}{2}}x,\quad \log .(\cos .x),\quad$etc.

en sinus ou cosinus d’arcs multiples, et ce procédé a l’avantage de faire connaître les limites entre lesquelles la variable doit être comprise pour que l’équation ait lieu. En général, ces sortes de séries se présentent d’elles-mèmes, et il est facile de les former par divers moyens ; mais il est nécessaire de distinguer les limites entre lesquelles on doit prendre la valeur de la variable. Par exemple, l’équation donnée par Euler,

${\frac {1}{2}}x=\sin .x-{\frac {1}{2}}\sin .2x+{\frac {1}{3}}\sin .3x-$etc.,