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On parvient ainsi à la série donnée par Euler :

$\log .2\cos .\left({\frac {z}{2}}\right)=\cos .z-{\frac {1}{2}}\cos .2z+{\frac {1}{3}}\cos .3z-{\frac {1}{4}}\cos .4z+$etc.

En appliquant le même procédé à l’équation

$y=\sin .x+{\frac {1}{3}}\sin .3x+{\frac {1}{5}}\sin .5x+{\frac {1}{7}}\sin .7x+$etc.,

on trouvera la série suivante, qui n’avait pas été remarquée,

${\frac {1}{4}}\pi =\sin .x+{\frac {1}{3}}\sin .3x+{\frac {1}{5}}\sin .5x+{\frac {1}{7}}\sin .7x+$etc.

20. Il faut observer, à l’égard de toutes ces séries, que les équations qui les contiennent n’ont point lieu de la même manière pour toutes les valeurs de la variable ; et que les valeurs de ces séries convergentes, exprimées en sinus ou cosinus d’arcs multiples, changent de signe comme la fonction $\cos .x-{\frac {1}{3}}\cos .3x+{\frac {1}{5}}\cos .5x-\ldots ,$ qui est alternativement équivalente à ${\frac {\pi }{4}}$ et à $-{\frac {\pi }{4}}.$ Par exemple, la fonction

$\sin .x-{\frac {1}{2}}\sin .2x+{\frac {1}{3}}\sin .3x-{\frac {1}{4}}\sin .4x+$etc.

donne la valeur de ${\frac {1}{2}}x,$ tant que l’arc $x$ est plus grand que $0$ et moindre que $\pi .$ Elle devient nulle à la fin de cet intervalle ; et au-delà, elle reprend les valeurs précédentes avec le signe contraire.

Ces résultats étant fondés sur le développement des quantités en séries infinies, on pourrait les regarder comme n’étant point rigoureusement prouvés. Mais il est facile de prévenir cette objection en déterminant les limites de la somme des