Page:Mémoires de l’Académie des sciences, Tome 4.djvu/628

${\frac {1}{2}}x=\sin .x-{\frac {1}{2}}\sin .2x+{\frac {1}{3}}\sin .3x-{\frac {1}{4}}\sin .4x+$etc.,

équation connue. On pourrait aussi déduire facilement de cette dernière série, celle que nous avons donnée plus haut la valeur de ${\frac {\pi }{4}}.$

Soit maintenant

$y={\frac {1}{2}}\cos .2x-{\frac {1}{4}}\cos .4x+{\frac {1}{6}}\cos .6x-{\frac {1}{8}}\cos .8x+$etc.

$+{\frac {1}{2n-2}}\cos .(2n-2)x-{\frac {1}{2n}}\cos .2nx.$

Différentiant, multipliant par $2\sin .2x,$ substituant les différences de cosinus et réduisant, on aura

$2{\frac {dy}{dx}}=-\operatorname {tang} .x+{\frac {\sin .(2n+1)x}{\cos .x}}.$

Donc

$2y=\mathrm {C} -\int \operatorname {tang} .x.dx-{\frac {1}{2n+1}}.{\frac {\cos .(2n+1)x}{\cos .x}}+{\frac {1}{2n+1}}\int \cos .(2n+1)x\left(d{\frac {1}{\cos .x}}\right),$

Si $n$ est infini, on aura

$y=\mathrm {C} -{\frac {1}{2}}\int \operatorname {tang} .x.dx=\mathrm {C} +{\frac {1}{2}}\log .\cos .x.$

Si, dans l’équation

$y={\frac {1}{2}}\cos .x-{\frac {1}{4}}\cos .4x+{\frac {1}{6}}\cos .6x-{\frac {1}{8}}\cos .8x+$etc.

on suppose $x$ nulle, on aura

$y={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{6}}-{\frac {1}{8}}+$etc.

Donc$\ \ \quad \qquad \qquad \qquad y={\frac {1}{2}}\log .2+{\frac {1}{2}}\log .\cos .x.$