Ainsi la fonction
ou
etc. est résolue en une série infinie qui renferme dans ses coëfficients les puissances négatives du nombre des termes. Il est visible maintenant que plus le nombre
augmente, plus la valeur de
approche de celle de la constante
C’est pourquoi, lorsque le nombre
est infini, la quantité
![{\displaystyle \cos .x-{\frac {1}{3}}\cos .3x+{\frac {1}{5}}\cos .5x-{\frac {1}{7}}\cos .7x+}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/353a10f6aa4d03df2328c11f5d132101a3628b37)
etc.
a une valeur constante et indépendante de
Or, si on suppose l’arc
nul, la fonction se réduit à
etc., qui est la série donnée par Leibnitz pour la valeur de
Donc on aura généralement
(n)
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Si dans l’équation (n) on suppose
on trouvera
![{\displaystyle {\frac {\pi }{2{\sqrt {2}}}}=1+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}-{\frac {1}{9}}-{\frac {1}{11}}-{\frac {1}{13}}-{\frac {15}{95}}+}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b4f57faa01c0f0d25a89a3eedfd9a642fa31240)
etc.
En donnant à l’arc
d’autres valeurs particulières, on trouvera d’autres séries qu’il est inutile de rapporter, et dont plusieurs ont déjà été publiées dans les ouvrages d’Euler. Si on multiplie l’équation
par
et que l’on intègre, on aura
![{\displaystyle {\frac {\pi x}{4}}=\sin .x-{\frac {1}{3}}\sin .3x+{\frac {1}{5}}\sin .5x-{\frac {1}{7}}\sin .7x+}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30afc52356852f22552a5a97ba04202bcb0bb20e)
etc.