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termes qui entrent dans son expression. On peut donc la considérer comme une fonction de $x$ et de $m,$ $m$ étant le nombre des termes.

Soit $y$ la fonction cherchée qui est donnée par l’équation

$y=\cos .x-{\frac {1}{3}}\cos .3x+{\frac {1}{5}}\cos .5x-{\frac {1}{7}}\cos .7x+\ldots$

$+{\frac {1}{2m-1}}\cos .(2m-1)x,$

le nombre $m$ des termes étant supposé pair. En différentiant cette équation par rapport à $x$ on aura.

$-{\frac {y}{x}}=\sin .x-\sin .3x+\sin .5x-\sin .7x+\ldots$

$+\sin .(2m-3)x-\sin .(2m-1)x.$

On multipliera chaque terme par $2\sin .2x,$ afin qu’il devienne un produit de sinus, qu’on pourra remplacer par la différence de deux cosinus ; et l’on aura ainsi, après les réductions,

$2{\frac {dy}{dx}}={\frac {sin.2m.x}{\cos .x}},\quad {\text{ou}}\quad y={\frac {1}{2}}\int dx{\frac {sin.2m.x}{\cos .x}}.$

On intégrera le second membre par parties, en distinguant dans l’intégrale $\int {\frac {1}{\cos .x}}\sin .2mx.dx$ la quantité $\sin .2mx.dx,$ qui doit être intégrée successivement, et la quantité ${\frac {1}{\cos .x}},$ ou $\sec .x,$ que l’on doit différentier successivement. Désignant les résultats de ces différentiations successives par $\sec .'a,\sec .''a,\sec .'''a,$ etc., on aura

$y=\mathrm {C} -{\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{2m}}\cos .2mx\sec .x+{\frac {1}{2^{2}m^{2}}}\cos .2mx\sec .'x-{\frac {1}{2^{3}m^{3}}}\cos .2mx\sec .''x+\ldots \right)$