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éliminations, et à déterminer les coëfficients $a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},$ etc. de l’équation

$1=a_{1}\cos .u+a_{2}\cos .3u+a_{3}\cos .5u+a_{4}\cos .7u+$etc.

La substitution de ces coëfficients donne l’équation suivante :

${\frac {\pi }{4}}=\cos .u-{\frac {1}{3}}\cos .3u+{\frac {1}{5}}\cos .5u-{\frac {1}{7}}\cos .7u+$etc.

Le second membre de cette équation est une fonction de $u$ qui ne change point de valeur quand on donne à la variable $u$ une valeur comprise entre ${\frac {1}{2}}\pi$ et $-{\frac {1}{2}}\pi ,$ et il serait aisé de prouver que cette serie est toujours convergente. On reconnait facilement aussi que cette même série convergente

$\cos .u-{\frac {1}{3}}\cos .3u+{\frac {1}{5}}\cos .5u-{\frac {1}{7}}\cos .7u+$etc.,

qui est égale à ${\frac {\pi }{4}},$ quel que soit l’arc $u,$ pourvu qu’il soit compris entre ${\frac {\pi }{2}}$ et $-{\frac {\pi }{2}},$ a pour valeur $-{\frac {\pi }{4}}$ toutes les fois que l’arc $u$ est comprise entre ${\frac {1}{2}}\pi$ et ${\frac {3}{2}}\pi .$

L’équation

$y=\cos .u-{\frac {1}{3}}\cos .3u+{\frac {1}{5}}\cos .5u-{\frac {1}{7}}\cos .7u+$etc.

appartient à une ligne qui, ayant $u$ pour abscisse et $y$ pour ordonnée, est composée de droites séparées, dont chacune est parallèle à l’axe, et égale à la demi-circonférence : ces parallèles sont placées alternativement au-dessus et au-dessous de l’axe à la distance $1,$ et jointes par des perpendicu-