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Si cet état à l’origine est tel que l’on ait, $x$ étant nul, $v=a_{1}\cos .{\frac {\pi }{2}}y,$ l’état de la lame sera représenté par l’équation

$v=a_{1}e^{-{\frac {\pi }{2}}x}\cos .{\frac {\pi }{2}}y.$

Si les températures de la première arète sont telles que l’on ait $v=a_{2}\cos .3{\frac {\pi }{2}}y,$ les températures des autres points seront données par l’équation

$v=a_{2}e^{-3{\frac {\pi }{2}}x}\cos .{\frac {3\pi }{2}}y,$ etc.

Ainsi chacune de ces équations constitue un mode propre et élémentaire, suivant lequel la chaleur peut se propager dans l’intérieur d’une lame solide. Si l’un quelconque de ces modes est établi à l’origine, il subsiste de lui-même, et se conserve à l’infini jusqu’aux extrémités de la lame. Mais cela n’arrive que lorsque les températures à l’origine $v$ satisfont à l’équation $v=a\cos .n{\frac {\pi }{2}}y,$ $n$ étant un nombre entier impair. Dans tous les autres cas, la surface dont les ordonnées $v$ représentent les températures, se déforme successivement à mesure qu’elle s’éloigne de l’origine, et finit toujours par se confondre avec l’une des surfaces dont nous avons rapporté les équations. La loi suivant laquelle la chaleur se propage, qui est d’abord très-composée vers l’origine, devient de plus en plus simple, et se confond avec une des lois élémentaires exprimées par les équations

$v=a_{1}e^{-{\frac {\pi }{2}}x}\cos .{\frac {\pi }{2}}y,\ v=a_{2}e^{-3{\frac {\pi }{2}}x}\cos .3{\frac {\pi }{2}}y,\ v=a_{3}e^{-5{\frac {\pi }{2}}x}\cos .5{\frac {\pi }{2}}y,{\text{ etc}}.$