Page:Mémoires de l’Académie des sciences, Tome 4.djvu/606

au-dessus de l’axe des $y,$ à une distance égale à l’unité, et qu’elle coupera le plan horizontal suivant les deux arêtes infinies parallèles aux $x.$

Pour appliquer l’équation générale

${\frac {dv}{dt}}=\mathrm {\frac {K}{CD}} \left({\frac {d^{2}v}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}v}{dy^{2}}}+{\frac {d^{2}v}{dz^{2}}}\right),$

on considérera que, dans le cas dont il s’agit, on fait abstraction d’une coordonnée $z,$ en sorte que le terme ${\frac {d^{2}v}{dz^{2}}}$ est nul. Le premier membre ${\frac {dv}{dt}}$ s’évanouit aussi, puisqu’on veut déterminer les températures stationnaires. Ainsi l’équation qui convient à la question actuelle, et détermine les propriétés de la surface, est celle-ci :

${\frac {d^{2}v}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}v}{dy^{2}}}=0.$

On recherchera en premier lieu quelles sont les fonctions de $x$ et de $y$ les plus simples qui, étant prises pour $v,$ satisfont à la condition ${\frac {d^{2}v}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}v}{dy^{2}}}=0.$ Or, il est facile de voir que l’on peut choisir pour $v$ la fonction $ae^{mx}.\cos .ny,$ pourvu que l’on ait $m'=n'.$

Cette condition sera toujours remplie, si $v$ est égale à $ae^{nx}.\cos .ny,$ ou à $ae^{-nx}.\cos .ny.$ Mais on considérera que la première fonction $ae^{nx}.\cos .ny$ ne peut point être employée d’après la nature de la question. En effet, si la fonction $v$ avait cette forme, et que $n$ fut un nombre positif, la