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naître la valeur de ce changement qui est désigné par $\delta z,$ il faut diviser la somme des trois quantités par celle qui est nécessaire pour élever la molécule de la température $0$ à la température $1.$ Cette dernière quantité est $\mathrm {CD.D} x\mathrm {d} y\,dz.$ Car $\mathrm {C}$ désigne la capacité de chaleur de la substance, $\mathrm {D}$ sa densité, et $\mathrm {D} x\,\mathrm {d} y\,dz$ le volume de la molécule. On a donc pour exprimer le mouvement de la chaleur dans l’intérieur du solide, l’équation

${\frac {\mathrm {Kd} y\,dz\,\mathrm {D} \left({\frac {\mathrm {D} v}{\mathrm {D} x}}\right)\delta t+\mathrm {KD} x\,dz\,\mathrm {d} \left({\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} y}}\right)\delta t+\mathrm {KD} x\,\mathrm {d} y\,d\left({\frac {dv}{dz}}\right)\delta t}{\mathrm {CD.D} x\mathrm {d} y\,dz}}=\delta z,$

ou, suivant les notations ordinaires,

${\frac {dz}{dt}}=\mathrm {\frac {K}{CD}} \left[{\frac {d^{2}v}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}v}{dy^{2}}}+{\frac {d^{2}v}{dz^{2}}}\right].\qquad \qquad (\mathrm {E} )$

On formera, d’après les mêmes principes, l’équation qui représente le mouvement de la chaleur à la surface du solide. En effet, on a remarqué que la quantité de chaleur qui traverse dans le sens des $x$ pendant l’instant $\delta \,t$ la première surface de la molécule prismatique, a pour expression

$-\mathrm {Kd} y\,dz{\frac {\mathrm {D} v}{\mathrm {D} x}}\delta t.$

Ce résultat, qui s’applique à tous les points du solide, doit avoir lieu aussi lorsque la valeur de $x$ est égale à $l,$ demi-épaisseur du prisme. Dans ce dernier cas, le rectangle dydz étant placé à la superficie, il est certain que la quantité de chaleur qui le pénètre et se dissipe dans l’air, est exprimée par $h\mathrm {d} y\,dz.v\delta t\,;$ on doit donc avoir, lorsque $x=l,$ l’équation

$hv+\mathrm {K} {\frac {dv}{dx}}=0.$