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${\frac {2\mathrm {K} \pi \,l\delta \,t\,d\left(x{\frac {dz}{dx}}\right)}{2\mathrm {CD} \pi \,lxdx}}$

est l’accroissement $\delta \,z$ qu’éprouve la température pendant l’instant $\delta \,t.$ On obtient ainsi l’équation

$\delta \,z={\frac {\mathrm {K} \delta \,t\,d\left(x{\frac {dz}{dx}}\right)}{\mathrm {CD} xdx}},$

ou, suivant les notations ordinaires,

${\frac {dz}{dt}}=\mathrm {\frac {K}{CD}} \left({\frac {d^{2}z}{dx^{2}}}+{\frac {1}{x}}{\frac {dz}{dx}}\right).$

La quantité de chaleur qui traverse pendant l’instant $\delta \,t$ la surface cylindrique dont le rayon est $x,$ étant généralement exprimée par $-2\mathrm {K} \pi \,x{\frac {dz}{dx}}\delta \,t,$ il s’ensuit que l’on trouvera celle qui s’échappe, pendant le même temps, de la superficie du solide, en faisant dans la valeur précédente $x=\mathrm {X} ,$ rayon total. D’un autre côté, cette même quantité qui se dissipe dans l’air est, selon le principe de la communication de la chaleur, égale à $2\pi \mathrm {X} hz\,\delta \,t.$ On doit donc avoir l’équation déterminée $-\mathrm {K} {\frac {dz}{dx}}=hz.$ Donc la fonction $z,$ de $x$ et $t,$ qui représente le mouvement de la chaleur dans un cylindre infini, satisfait 1^o à l’équation générale

${\frac {dz}{dt}}=\mathrm {\frac {K}{CD}} \left({\frac {d^{2}z}{dx^{2}}}+{\frac {1}{x}}{\frac {dz}{dx}}\right),$

qui doit avoir lieu quelles que soient $x$ et $t\,;$ 2^o à l’équation déterminée

${\frac {h}{\mathrm {K} }}z+{\frac {dz}{dx}}=0.$