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il faut changer dans l’expression précédente $x$ en $x'$ et $z$ en $z',$ c’est-à-dire ajouter au terme $-4\mathrm {K} \pi \,x^{2}{\frac {dz}{dx}}\delta \,t$ la différentielle de ce terme prise par rapport à $x.$ Si l’on retranche maintenant de la quantité de chaleur qui pénètre dans la couche intermédiaire à travers la première surface, celle qui en sort par la seconde surface, on aura cette différentielle même du terme $-4\mathrm {K} \pi \,x^{2}{\frac {dz}{dx}}\delta \,t,$ prise avec un signe contraire, ou $4\pi \mathrm {K} \,d\left(x^{2}{\frac {dz}{dx}}\right)\delta \,t.$ Cette différence est évidemment la quantité de chaleur qui s’accumule dans la couche intermédiaire, et dont l’effet est de faire varier sa température.

Le coëfficient $\mathrm {C}$ désigne ce qu’il faut de chaleur pour élever de la température $0$ à la température $1,$ un poids déterminé qui sert d’unité. $\mathrm {D}$ est le poids de l’unité de volume. $4\pi \,x^{2}dx$ est le volume de la couche intermédiaire, ou n’en diffère que d’une quantité qui doit être omise. Donc $4\pi \,\mathrm {CD} x^{2}dx$ est la quantité de chaleur nécessaire pour porter la tranche intermédiaire de la température $0$ à la température $1.$ Il faudra par conséquent diviser la quantité de chaleur qui s’accumule dans cette couche par $4\pi \,\mathrm {CD} x^{2}dx,$ et l’on trouvera l’accroissement de sa température $z$ dù à l’instant $\delta \,t.$ On obtiendra ainsi l’équation

$\delta \,z={\frac {\mathrm {K} \delta \,td\left(x^{2}{\frac {dz}{dx}}\right)}{\mathrm {CD} \,x^{2}dx}}=\mathrm {\frac {K}{CD}} \delta \,t\left({\frac {d^{2}z}{dx^{2}}}+{\frac {2}{x}}{\frac {dz}{dx}}\right),$

ou, suivant les notations établies,

${\frac {dz}{dt}}=\mathrm {\frac {K}{CD}} \left({\frac {d^{2}z}{dx^{2}}}+{\frac {2}{x}}{\frac {dz}{dx}}\right).$